Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 22, czerwiec 2026, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(D=(6,19)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+9\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=4x-5\). Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\).
Oblicz współrzędne punktu \(S\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[A=(4,11),\qquad B=(16,17),\qquad C=(18,25).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek \(A\) jest wspólnym punktem prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\), więc
\[\frac12x+9=4x-5\quad\Longrightarrow\quad \frac72x=14\quad\Longrightarrow\quad x=4,\qquad y=11,\]
czyli \(A=(4,11)\).
Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\), zatem
\[B=(2\cdot10-4,\ 2\cdot14-11)=(16,17).\]
W równoległoboku \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), a \(\overrightarrow{AB}=[12,6]\), więc
\[C=D+[12,6]=(6+12,\ 19+6)=(18,25).\]
**Odpowiedź.** \(A=(4,11)\), \(B=(16,17)\), \(C=(18,25)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: obliczenie A = (4, 11) albo inny wskazany w kluczu istotny etap.
2 pkt: obliczenie B = (16, 17) albo równoważne wyznaczenie danych pozwalających znaleźć S.
3 pkt: poprawna metoda i wynik S = (11, 18).
Wymagania podstawy programowej
IV. Rozumowanie i argumentacja. IX.1) oraz SP X.4) Zdający znajduje punkt przecięcia prostych i współrzędne środka oraz drugiego końca odcinka.
