Nierówności
Zadanie 4, sierpień 2010, poziom podstawowy
Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
**A.** \(|x-1|<3\)
**B.** \(|x+1|<3\)
**C.** \(|x+1|>3\)
**D.** \(|x-1|>3\)
Odpowiedź
**B.** \(|x+1|<3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi mają postać \(|x-a| \lt r\) albo \(|x-a| \gt r\). Kluczowa jest interpretacja wartości bezwzględnej: \(|x-a|\) to **odległość** liczby \(x\) od liczby \(a\) na osi. Zatem \(|x-a| \lt r\) opisuje przedział o środku \(a\) i promieniu \(r\), czyli \((a-r,\,a+r)\), a \(|x-a| \gt r\) opisuje to, co leży **na zewnątrz** tego przedziału.
**Krok \(2\).** Z osi liczbowej odczytujemy końce zamalowanego fragmentu: \(-4\) oraz \(2\), przy czym zaznaczony jest odcinek **między** nimi (a nie dwie półproste odchodzące w nieskończoność).
**Krok \(3\).** Skoro zaznaczony jest fragment leżący pomiędzy dwiema liczbami, to potrzebna jest nierówność ze znakiem \(\lt\). Odpowiedzi C i D odpadają od razu.
**Krok \(4\).** Wyznaczamy środek przedziału (to będzie liczba \(a\)):
\[a=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1.\]
**Krok \(5\).** Wyznaczamy promień, czyli połowę długości przedziału:
\[r=\frac{2-(-4)}{2}=\frac{6}{2}=3.\]
**Krok \(6\).** Wstawiamy \(a=-1\) i \(r=3\) do wzoru \(|x-a| \lt r\):
\[|x-(-1)| \lt 3,\qquad\text{czyli}\qquad |x+1| \lt 3.\]
**Krok \(7\).** Kontrola odpowiedzi A: \(|x-1| \lt 3\) to przedział o środku \(1\) i promieniu \(3\), czyli \((-2,4)\) — to inny przedział niż zaznaczony.
**Uwaga.** Znak wewnątrz wartości bezwzględnej jest przeciwny do znaku środka: dla środka \(-1\) mamy \(x-(-1)=x+1\). Odwrotne przepisanie (\(|x-1|\)) to najczęstszy błąd w tym typie zadania.
**Odpowiedź.** B: \(|x+1| \lt 3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozpoznaje nierówność z wartością bezwzględną opisującą przedział.
