Liczby rzeczywiste
Zadanie 1, czerwiec 2014, poziom podstawowy
Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x ?
A. \(x^{2} = x B\). \(-x = x C\). \(x -1 = x -1 D\). \(( x +1)2 = x +1\)
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pytanie brzmi: która równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej. To ważne rozróżnienie: żeby odrzucić odpowiedź, wystarczy wskazać jedną liczbę, dla której równość zawodzi (kontrprzykład); żeby ją przyjąć — trzeba uzasadnić, że zachodzi zawsze.
**Krok \(2\).** Wszystko rozstrzyga tu jedna tożsamość:
\[\sqrt{a^{2}}=|a|.\]
Pierwiastek kwadratowy z definicji jest liczbą nieujemną, więc \(\sqrt{a^{2}}\) równa się \(a\) tylko wtedy, gdy \(a\geqslant 0\); dla \(a\lt 0\) daje liczbę przeciwną do \(a\).
**Krok \(3\).** Sprawdzamy równość, w której po lewej stronie stoi pierwiastek z kwadratu, a po prawej samo \(x\). Bierzemy liczbę ujemną, np. \(x=-3\):
\[\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3,\]
a prawa strona to \(-3\). Ponieważ \(3\neq-3\), równość nie jest prawdziwa dla każdego \(x\) — odpada.
**Krok \(4\).** Tak samo odpada równość \(|-x|=x\): dla \(x=-3\) lewa strona to \(|3|=3\), a prawa \(-3\). Powód jest ten sam — lewa strona jest zawsze nieujemna, a prawa dla liczb ujemnych jest ujemna.
**Krok \(5\).** Równość porównującą \(|x-1|\) z \(|x|-1\) testujemy dla \(x=0\):
\[|0-1|=1,\qquad |0|-1=-1,\]
więc \(1\neq-1\) i ta odpowiedź również odpada (wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, a wyrażenie \(|x|-1\) dla \(x=0\) jest ujemne).
**Krok \(6\).** Zostaje odpowiedź D. Pierwiastkujemy w niej kwadrat wyrażenia, które dla każdej liczby rzeczywistej jest dodatnie, bo \(|x|+1\geqslant 1\). Zgodnie z tożsamością z kroku \(2\)
\[\sqrt{\left(|x|+1\right)^{2}}=\bigl||x|+1\bigr|=|x|+1,\]
a ta równość zachodzi dla każdego \(x\).
**Uwaga.** Regułę warto zapamiętać w tej postaci: \(\sqrt{a^{2}}=a\) tylko dla \(a\geqslant 0\), a w ogólności \(\sqrt{a^{2}}=|a|\). Dlatego w takich zadaniach zawsze testujemy liczbę ujemną — to ona demaskuje błędne odpowiedzi.
**Odpowiedź.** D
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
