Liczby rzeczywiste
Zadanie 9, maj 2014, poziom podstawowy
Dla każdej liczby x spełniającej warunek \(-3 < x < 0\) wyrażenie \(\frac{(|x + 3| - x + 3)}{x}\) jest równe
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(-\frac{6}{x}\)
D. \(\frac{6}{x}\)
Odpowiedź
D. \(\frac{6}{x}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W wyrażeniu jest wartość bezwzględna, ale zadanie podaje przedział, w którym leży \(x\). To typowa sytuacja: najpierw ustalamy znak liczby stojącej pod modułem, żeby móc moduł zdjąć, a dopiero potem upraszczamy.
**Krok \(2\).** Badamy znak wyrażenia \(x+3\). Do nierówności \(-3\lt x\lt0\) dodajemy stronami \(3\):
\[0\lt x+3\lt3.\]
Zatem \(x+3\) jest liczbą dodatnią.
**Krok \(3\).** Dla dodatniego argumentu wartość bezwzględna nic nie zmienia:
\[|x+3|=x+3.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy to do wyrażenia i redukujemy licznik:
\[\frac{|x+3|-x+3}{x}=\frac{(x+3)-x+3}{x}=\frac{x+3-x+3}{x}=\frac{6}{x}.\]
**Krok \(5\).** Warunek \(x\neq0\) jest spełniony, bo z założenia \(x\lt0\). Wyrażenie ma więc sens dla każdego \(x\) z podanego przedziału.
**Krok \(6\).** Sprawdzenie liczbowe, np. dla \(x=-1\): licznik \(|-1+3|-(-1)+3=2+1+3=6\), więc całość wynosi \(\frac{6}{-1}=-6\), a to dokładnie \(\frac{6}{x}\) dla \(x=-1\). Zgadza się.
**Uwaga.** Wynik zależy od \(x\), więc odpowiedzi liczbowe (\(2\) i \(3\)) od razu odpadają. Kusi też dopisanie minusa, bo dla \(x\lt0\) wartość wyrażenia jest ujemna — ale ujemność bierze się z samego \(x\) w mianowniku; wyrażenie jest równe \(\frac{6}{x}\), a nie \(-\frac{6}{x}\).
**Odpowiedź.** D: \(\frac{6}{x}\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej (IV.1.f).
