![Rozwiązanie zadania 18.1, zbiór zadań z informatora CKE 2023, poziom rozszerzony: Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 80, pole… Odpowiedź: Układ ma rozwiązanie a,b≥4 dokładnie dla c∈[4,28/3]](rozwiazanie.webp)
Liczby rzeczywiste
Zadanie 18.1, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\) i żadna z krawędzi bryły nie jest krótsza niż \(4\).
**Zadanie \(18\).\(1\).**
**Wykaż, że układ równań**
\[\begin{cases}4a+4b+4c=80,\\2ab+2bc+2ca=256,\end{cases}\]
**z niewiadomymi \(a\) oraz \(b\) ma rozwiązanie będące parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od \(4\) wtedy i tylko wtedy, gdy**
\[c\in\left[4,\frac{28}{3}\right].\]
Odpowiedź
Układ ma rozwiązanie \(a,b\ge4\) dokładnie dla \(c\in[4,\frac{28}{3}]\).
Rozwiązanie krok po kroku
Po podzieleniu równań odpowiednio przez \(4\) i \(2\) mamy
\[a+b+c=20,\qquad ab+bc+ca=128.\]
Eliminujemy \(b=20-a-c\). Otrzymujemy równanie
\[a^2+(c-20)a+c^2-20c+128=0.\]
Jeżeli układ ma rozwiązanie rzeczywiste, to wyróżnik tego równania musi być nieujemny:
\[\Delta_a=(c-20)^2-4(c^2-20c+128)=-3c^2+40c-112=-3(c-4)\left(c-\frac{28}{3}\right)\ge0.\]
Ponieważ krawędź \(c\ge4\), koniecznie \(c\in[4,\frac{28}{3}]\).
Odwrotnie, niech \(c\in[4,\frac{28}{3}]\). Wtedy \(\Delta_a\ge0\), więc równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki \(a\) i \(b\). Ich średnia, czyli odcięta wierzchołka paraboli, wynosi
\[p=\frac{20-c}{2}\in\left[\frac{16}{3},8\right],\]
a wartość trójmianu dla \(a=4\) jest równa
\[4^2+4(c-20)+c^2-20c+128=(c-8)^2\ge0.\]
Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w górę, jej wierzchołek leży na prawo od \(4\), a wartość w punkcie \(4\) jest nieujemna, oba jej pierwiastki są nie mniejsze od \(4\). Są to długości \(a\) i \(b\), co kończy dowód równoważności.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wykorzystanie odpowiednich własności funkcji kwadratowej i pełne wykazanie, że układ ma rozwiązanie \(a,b\ge4\) dla całego wskazanego przedziału wartości \(c\)
**3 pkt** – przyjęcie \(c\in[4,\frac{28}{3}]\) i zbudowanie funkcji \(f(a)=a^2+(c-20)a+c^2-20c+128\)
**2 pkt** – obliczenie wyróżnika i argumentacja prowadząca do \(c\in[4,\frac{28}{3}]\)
**1 pkt** – przyjęcie istnienia rozwiązania układu i zapisanie prawidłowego równania kwadratowego z niewiadomą \(a\) lub \(b\) oraz parametrem \(c\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1, III.3 i IV.3 operowanie obiektami matematycznymi, tworzenie obiektów pomocniczych i budowanie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5R analizowanie równań i nierówności kwadratowych z parametrami oraz warunków dotyczących ich rozwiązań.
