Równania i nierówności
Zadanie 28, czerwiec 2025, poziom podstawowy
W maju \(2024\) roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie \(1410\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(20\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(15\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(70\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju \(2024\) roku.
Odpowiedź
Niech \(x\) oznacza liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a \(y\) liczbę drzew posadzonych w drugim sadzie. Otrzymujemy układ
\[\begin{cases}x+y=1410,\\0{,}85y=0{,}70\cdot0{,}80x.\end{cases}\]
Drugie równanie daje \(85y=56x\), czyli \(y=\frac{56}{85}x\). Zatem \(x+\frac{56}{85}x=1410\), skąd \(\frac{141}{85}x=1410\) i \(x=850\). W pierwszym sadzie posadzono \(850\) drzew.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: zapisanie poprawnego układu lub równania, np. x + y = \(1410\) oraz \(0\),\(85y\) = \(0,70\cdot 0\),\(80x\).
**Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i wynik \(850\).
**Odpowiedź.** Niech \(x\) oznacza liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a \(y\) liczbę drzew posadzonych w drugim sadzie. Otrzymujemy układ
\[\begin{cases}x+y=1410,\\0{,}85y=0{,}70\cdot0{,}80x.\end{cases}\]
Drugie równanie daje \(85y=56x\), czyli \(y=\frac{56}{85}x\). Zatem \(x+\frac{56}{85}x=1410\), skąd \(\frac{141}{85}x=1410\) i \(x=850\). W pierwszym sadzie posadzono \(850\) drzew.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie poprawnego układu lub równania, np. x + y = 1410 oraz 0,85y = 0,70·0,80x.
2 pkt: poprawna metoda i wynik 850.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne.
Wymaganie szczegółowe: G7.7) Za pomocą równań lub układów równań rozwiązuje zadania w kontekście praktycznym.
