Funkcje
Zadanie 18.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\) i żadna z krawędzi bryły nie jest krótsza niż \(4\).
**Zadanie \(18\).\(2\).**
Objętość każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji
\[V(c)=c^3-20c^2+128c,\]
gdzie \(c\in[4,\frac{28}{3}]\) jest długością jednej z krawędzi bryły.
**Spośród rozpatrywanych prostopadłościanów oblicz objętość tego, którego objętość jest najmniejsza.**
Odpowiedź
Najmniejsza możliwa objętość prostopadłościanu jest równa \(256\).
Rozwiązanie krok po kroku
Badamy funkcję
\[V(c)=c^3-20c^2+128c,\qquad c\in\left[4,\frac{28}{3}\right].\]
Jej pochodna wynosi
\[V'(c)=3c^2-40c+128=3(c-8)\left(c-\frac{16}{3}\right).\]
Funkcja \(V\) rośnie na \([4,\frac{16}{3}]\), maleje na \([\frac{16}{3},8]\) i ponownie rośnie na \([8,\frac{28}{3}]\). Porównujemy wartości w punktach istotnych dla minimum globalnego:
\[V(4)=256,\qquad V(8)=256,\qquad V\!\left(\frac{28}{3}\right)=\frac{7168}{27}\approx265{,}48.\]
Najmniejsza możliwa objętość jest zatem równa \(256\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – obliczenie najmniejszej możliwej objętości prostopadłościanu
**2 pkt** – wyznaczenie argumentów, dla których funkcja \(V\) może osiągać minimum globalne, i poprawne porównanie wartości
**1 pkt** – obliczenie pochodnej funkcji \(V\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.6R rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.
