Liczby rzeczywiste
Zadanie 17, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem
\[a_n=(n+5)^2\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2p+2}{(n+2)(n+3)}\right)\]
dla \(n\ge1\).
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których granica ciągu \((a_n)\) jest równa \(12\).**
Odpowiedź
\(p=3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozdzielamy składniki ciągu:
\[a_n=(p+1)\frac{(n+5)^2}{(n+1)(n+2)}+(2p+2)\frac{(n+5)^2}{(n+2)(n+3)}.\]
Po podzieleniu liczników i mianowników przez \(n^2\) otrzymujemy
\[\lim_{n\to\infty}\frac{(n+5)^2}{(n+1)(n+2)}=1,\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{(n+5)^2}{(n+2)(n+3)}=1.\]
Zatem
\[\lim_{n\to\infty}a_n=(p+1)+(2p+2)=3p+3.\]
Warunek z zadania daje \(3p+3=12\), stąd \(p=3\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia granicy i prawidłowe wyznaczenie \(p=3\)
**2 pkt** – wyznaczenie granicy ciągu \((a_n)\) w zależności od \(p\)
**1 pkt** – obliczenie jednej z dwóch granic ilorazów występujących we wzorze ciągu
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.1R obliczanie granic z wykorzystaniem twierdzeń o granicy sumy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych.
