Równania i nierówności
Zadanie 9, czerwiec 2026, poziom podstawowy
W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest \(198\). Gdyby w tym parku rosło o \(18\) drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam \(3\) razy więcej niż drzew iglastych.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) - liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
\(y\) - liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest
**A.** \(\begin{cases}x+y=198,\\x+18=3y.\end{cases}\)
**B.** \(\begin{cases}x+y=198,\\3x+18=y.\end{cases}\)
**C.** \(\begin{cases}x+y=198,\\\frac{1}{3}x+18=y.\end{cases}\)
**D.** \(\begin{cases}x+y=198,\\3(x+18)=y.\end{cases}\)
Odpowiedź
**D.** \(\begin{cases}x+y=198,\\3(x+18)=y.\end{cases}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie nie prosi o obliczenie liczby drzew — prosi o **wskazanie układu równań**. Naszą pracą jest więc wierne przetłumaczenie każdego zdania z treści na równanie, przy oznaczeniach: \(x\) — liczba drzew iglastych, \(y\) — liczba drzew liściastych.
**Krok \(2\).** Zdanie „wszystkich drzew łącznie jest \(198\)” daje pierwsze równanie:
\[x+y=198.\]
Występuje ono we wszystkich czterech odpowiedziach, więc rozstrzyga dopiero drugie równanie.
**Krok \(3\).** Drugie zdanie jest hipotetyczne: „gdyby rosło o \(18\) drzew iglastych więcej niż teraz”. Liczba drzew iglastych zmieniłaby się wtedy na \(x+18\), natomiast liczba drzew liściastych pozostałaby taka sama, czyli \(y\).
**Krok \(4\).** Warunek „drzew liściastych byłoby \(3\) razy więcej niż drzew iglastych” znaczy: liczba liściastych równa się trzykrotności liczby iglastych **po tej zmianie**. Mnożnik \(3\) stawiamy więc przy wielkości mniejszej, czyli przy iglastych:
\[y=3\cdot(x+18),\qquad\text{czyli}\qquad 3(x+18)=y.\]
**Krok \(5\).** Układ ma zatem postać
\[\begin{cases}x+y=198,\\ 3(x+18)=y.\end{cases}\]
**Krok \(6\).** Kontrola: rozwiążmy ten układ i sprawdźmy, czy wynik pasuje do treści. Podstawiamy \(y=3x+54\) do pierwszego równania:
\[x+3x+54=198,\qquad 4x=144,\qquad x=36,\qquad y=162.\]
Po dosadzeniu \(18\) drzew iglastych byłoby ich \(36+18=54\), a liściastych \(162=3\cdot54\) — zgadza się.
**Uwaga.** Dwie typowe pułapki. Po pierwsze, mnożnik \(3\) należy do tej grupy, której jest **mniej** (iglaste) — zapis \(3y=x+18\) odwraca sens zdania. Po drugie, liczba \(18\) musi znaleźć się **wewnątrz** nawiasu, bo trzykrotność dotyczy już powiększonej liczby drzew iglastych; to właśnie odróżnia odpowiedź **D** od **B**.
**Odpowiedź.** D: \(\begin{cases}x+y=198,\\ 3(x+18)=y.\end{cases}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
G7.7) Zdający za pomocą równań lub układów równań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście praktycznym.
