Nierówności
Zadanie 32, sierpień 2013, poziom podstawowy
Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą \(6000\,\mathrm{m}^2\). Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o \(10\,\mathrm{m}\) i \(15\,\mathrm{m}\) oraz powierzchnię większą o \(2250\,\mathrm{m}^2\). Oblicz wymiary pierwszej działki.
Odpowiedź
\(40\,\mathrm{m}\times150\,\mathrm{m}\) lub \(100\,\mathrm{m}\times60\,\mathrm{m}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W zadaniu opisano dwie działki i podano dwie informacje liczbowe: pole pierwszej oraz o ile większe jest pole drugiej. Szukamy dwóch liczb — wymiarów pierwszej działki — więc wprowadzamy dwie niewiadome i układamy układ dwóch równań.
**Krok \(2\).** Oznaczenia: niech \(x\) i \(y\) będą długościami boków pierwszej działki (w metrach), przy czym \(x\gt0\) i \(y\gt0\). Pierwszy warunek to
\[xy=6000.\]
**Krok \(3\).** Druga działka ma boki dłuższe o \(10\ \mathrm{m}\) i o \(15\ \mathrm{m}\), czyli \(x+10\) oraz \(y+15\), a jej pole jest o \(2250\ \mathrm{m}^2\) większe, czyli równe \(6000+2250=8250\). Stąd drugie równanie:
\[(x+10)(y+15)=8250.\]
**Krok \(4\).** Wymnażamy drugie równanie:
\[xy+15x+10y+150=8250.\]
Podstawiamy \(xy=6000\):
\[6000+15x+10y+150=8250,\qquad 15x+10y=2100,\qquad 3x+2y=420.\]
**Krok \(5\).** Z pierwszego równania \(y=\frac{6000}{x}\) (dzielenie jest dozwolone, bo \(x\gt0\)). Wstawiamy to do zależności z kroku \(4\):
\[3x+2\cdot\frac{6000}{x}=420,\qquad 3x+\frac{12000}{x}=420.\]
**Krok \(6\).** Mnożymy obie strony przez \(x\) i porządkujemy:
\[3x^2+12000=420x,\qquad 3x^2-420x+12000=0,\qquad x^2-140x+4000=0.\]
**Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki:
\[\Delta=(-140)^2-4\cdot1\cdot4000=19600-16000=3600,\qquad \sqrt{\Delta}=60,\]
\[x_1=\frac{140-60}{2}=40,\qquad x_2=\frac{140+60}{2}=100.\]
**Krok \(8\).** Wyznaczamy odpowiadające im \(y\): dla \(x=40\) mamy \(y=\frac{6000}{40}=150\), a dla \(x=100\) mamy \(y=\frac{6000}{100}=60\).
**Krok \(9\).** Sprawdzenie obu możliwości. Dla boków \(40\) i \(150\): pole \(40\cdot150=6000\), a druga działka \(50\cdot165=8250\) — zgadza się. Dla boków \(100\) i \(60\): pole \(100\cdot60=6000\), a druga działka \(110\cdot75=8250\) — również się zgadza.
**Uwaga.** Oba rozwiązania są dodatnie i oba spełniają warunki zadania, więc żadnego nie wolno odrzucić — zadanie ma dwie odpowiedzi. To nie jest ten sam prostokąt zapisany dwa razy: \(40\times150\) i \(100\times60\) mają wprawdzie równe pola, ale różne wymiary, a powiększenie o \(10\ \mathrm{m}\) dotyczy w każdym przypadku innego boku.
**Odpowiedź.** Pierwsza działka ma wymiary \(40\,\mathrm{m}\times150\,\mathrm{m}\) albo \(100\,\mathrm{m}\times60\,\mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – układ \(xy=6000\) i \((x+10)(y+15)=8250\) oraz jego rozwiązanie.
**5 pkt** – oba dopuszczalne zestawy wymiarów.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
