Graniastosłupy
Zadanie 31, sierpień 2013, poziom podstawowy
Długość krawędzi sześcianu jest o \(2\) krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
Odpowiedź
\[d=3+\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(d=a\sqrt3\). Z warunku zadania \(d-a=2\), czyli
\[a\sqrt3-a=2\quad\Longleftrightarrow\quad a\left(\sqrt3-1\right)=2\quad\Longleftrightarrow\quad a=\frac2{\sqrt3-1}=\sqrt3+1.\]
Stąd
\[d=a\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)\sqrt3=3+\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** \(d=3+\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: równanie d=(√3/3)d+2 albo a√3=a+2. 2 pkt: d=3+√3.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
