Równania i nierówności
Zadanie 31, maj 2015, poziom podstawowy
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac47\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac12\). Wyznacz ten ułamek.
Odpowiedź
Szukany ułamek to \(\frac8{17}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x\) i \(y\) oznaczają licznik i mianownik. Z drugiego warunku
\[\frac{x+1}{y+1}=\frac12,\]
więc \(y=2x+1\). Pierwszy warunek daje
\[\frac{x+\frac x2}{y+\frac x2}=\frac47.\]
Po pomnożeniu stron otrzymujemy \(\frac{21x}{2}=4y+2x\). Po podstawieniu \(y=2x+1\) mamy \(\frac{17x}{2}=8x+4\), skąd \(x=8\) i \(y=17\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – poprawne zapisanie układu warunków dla licznika \(x\) i mianownika \(y\)
**2 pkt** – rozwiązanie układu i podanie nieskracalnego ułamka \(\frac8{17}\)
**0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
G7.6 i G7.7 zdający opisuje zadanie układem dwóch równań liniowych i rozwiązuje ten układ.
