Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 32, maj 2015, poziom podstawowy
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac35\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Odpowiedź
\[P_c=144+384\sqrt2=48(3+8\sqrt2).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(\alpha\) będzie kątem nachylenia przekątnej do podstawy. Z \(\cos\alpha=\frac35\) wynika \(\sin\alpha=\frac45\) i \(\operatorname{tg}\alpha=\frac43\). Jeżeli \(a\) jest bokiem kwadratowej podstawy, rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę ma długość \(a\sqrt2\). Zatem
\[\frac{16}{a\sqrt2}=\operatorname{tg}\alpha=\frac43,\]
więc \(a=6\sqrt2\). Pole całkowite wynosi
\[P_c=2a^2+4a\cdot16=2(6\sqrt2)^2+64\cdot6\sqrt2=144+384\sqrt2.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie \(\operatorname{tg}\alpha=\frac43\)
**2 pkt** – zapisanie zależności \(\frac{16}{a\sqrt2}=\frac43\)
**3 pkt** – obliczenie \(a=6\sqrt2\)
**4 pkt** – obliczenie \(P_c=144+384\sqrt2\)
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
9.6 zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości i pól powierzchni brył.
