Nierówności
Zadanie 6, maj 2007, poziom rozszerzony
Niech \(A\), \(B\) będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach \(P(A)\) i \(P(B)\). Wykaż, że jeżeli \(P(A)=0{,}85\) i \(P(B)=0{,}75\), to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność
\[P(A\mid B)\geqslant0{,}8.\]
Odpowiedź
Teza wynika z nierówności \(P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1=0{,}6\) oraz z definicji prawdopodobieństwa warunkowego: \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\ge\dfrac{0{,}6}{0{,}75}=0{,}8\) (dowód w rozwiązaniu).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie \(6\). (\(4\) pkt)
**Krok \(2\).** Niech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach P ( A) i P ( B) . Wykaż, że jeżeli
**Krok \(3\).** P ( A) = \(0\),\(85\) i P ( B) = \(0\), \(75\) , to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność
**Krok \(4\).** P A B ≥ \(0\),\(8\) .
**Krok \(5\).** Ponieważ P ( A ∪ B ) ≤\(1\) z własności prawdopodobieństwa, więc
**Krok \(6\).** ≥ P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) .
**Krok \(7\).** Stąd po przekształceniu otrzymuję:
**Krok \(8\).** P ( A ∩ B ) ≥ P ( A) + P ( B ) − \(1\)
**Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Ponieważ \(P(A\cup B)\leq 1\) z własności prawdopodobieństwa, więc \(1\geq P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Stąd po przekształceniu otrzymuję:
\[P(A\cap B)\geq P(A)+P(B)-1\]
\[P(A\cap B)\geq 0{,}85+0{,}75-1\]
\[P(A\cap B)\geq 0{,}6\]
Korzystam z definicji prawdopodobieństwa warunkowego: \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\geq\frac{0{,}6}{0{,}75}\) i otrzymuję \(P(A\mid B)\geq 0{,}8\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
