Równania kwadratowe
Zadanie 8, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Dane jest równanie
\[\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x},\qquad x\neq0\quad\text{i}\quad x\neq1.\]
Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \((-\infty,-\frac{2}{3})\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Po pomnożeniu obu stron równania przez \(3x(x-1)\) otrzymujemy \(3x(3x+4)=(x-1)(x+3)\), czyli \(8x^{2}+10x+3=0\). Pierwiastkami są \(x=-\frac{3}{4}\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\). Do przedziału \((-\infty,-\frac{2}{3})\) należy tylko \(x=-\frac{3}{4}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: poprawne sprowadzenie równania do równania kwadratowego, np. (\(3x\) + \(4\))·\(3x\) = (x − \(1\))(x + \(3\)).
**Krok \(2\).** pkt: wyznaczenie obu rozwiązań równania: −\(\frac{3}{4}\) i −\(\frac{1}{2}\).
**Krok \(3\).** pkt: wskazanie rozwiązania należącego do zadanego przedziału: x = −\(\frac{3}{4}\).
**Odpowiedź.** Po pomnożeniu obu stron równania przez \(3x(x-1)\) otrzymujemy \(3x(3x+4)=(x-1)(x+3)\), czyli \(8x^{2}+10x+3=0\). Pierwiastkami są \(x=-\frac{3}{4}\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\). Do przedziału \((-\infty,-\frac{2}{3})\) należy tylko \(x=-\frac{3}{4}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne sprowadzenie równania do równania kwadratowego, np. (3x + 4)·3x = (x − 1)(x + 3).
2 pkt: wyznaczenie obu rozwiązań równania: −3/4 i −1/2.
3 pkt: wskazanie rozwiązania należącego do zadanego przedziału: x = −3/4.
Wymagania podstawy programowej
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. III.1), III.4) i I.6) Zdający przekształca równania równoważnie, rozwiązuje równania kwadratowe i posługuje się przedziałem liczbowym.
