Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 27, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[x^{2}+y^{2}>4(x+y-2).\]
Odpowiedź
Nierówność została wykazana dla wszystkich \(x\neq2\) i \(y\in\mathbb{R}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
\[x^{2}+y^{2}-4x-4y+8>0.\]
Grupujemy wyrazy i uzupełniamy je do kwadratów:
\[x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4=(x-2)^{2}+(y-2)^{2}.\]
Z założenia \(x\neq2\), więc \(x-2\neq0\) i \((x-2)^{2}>0\). Dla dowolnego \(y\) zachodzi \((y-2)^{2}\ge0\). Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia, zatem
\[(x-2)^{2}+(y-2)^{2}>0,\]
co jest równoważne dowodzonej nierówności.
**Odpowiedź.** \(x^{2}+y^{2}>4(x+y-2)\) dla każdego \(x\neq2\) i każdego \(y\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: przekształcenie nierówności do postaci (x−2)²+(y−2)²>0 albo równoważny istotny etap.
2 pkt: poprawne przekształcenie i pełne uzasadnienie z wykorzystaniem założenia x≠2.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: V. Rozumowanie i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe: 2.1) Używa wzorów skróconego mnożenia na (a±b)² oraz a²−b².
