Ciąg arytmetyczny
Zadanie 29, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Ciąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa \(2025\). Ostatni wyraz tego ciągu jest \(17\) razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu.
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Odpowiedź
Niech \(a_1\) będzie pierwszym, a \(a_{25}\) ostatnim wyrazem ciągu. Z warunku \(a_{25}=17a_1\) oraz wzoru na sumę otrzymujemy
\[2025=S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}=\frac{25\cdot18a_1}{2}=225a_1.\]
Stąd \(a_1=9\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy pierwszy wyraz przez \(a_1\). Z warunku \(a_{25}=17a_1\) i ze wzoru na sumę \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) otrzymujemy
\[2025=S_{25}=\frac{(a_1+17a_1)\cdot25}{2}=\frac{18a_1\cdot25}{2}=225a_1.\]
Stąd
\[a_1=\frac{2025}{225}=9.\]
**Odpowiedź.** \(a_1=9\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie równania, np. 25(a₁+17a₁)/2=2025, albo równoważnego układu.
2 pkt: poprawna metoda i a₁=9.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii.
Wymaganie szczegółowe: 5.3) Stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
