Nierówności
Zadanie 7, czerwiec 2019, poziom podstawowy
\(2x - y = 2\)
Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla
x + my \(= 1\)
A. \(m = -1 B\). \(m = 1 C\). \(m = 1 D\). \(m = - 1\)
\(2\) \(2\)
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Układ dwóch równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań dokładnie wtedy, gdy oba równania opisują tę samą prostą, czyli gdy jedno powstaje z drugiego przez pomnożenie przez liczbę różną od zera. To właśnie chcemy uzyskać, dobierając \(m\).
**Krok \(2\).** Zapisujemy oba równania:
\[2x-y=2,\qquad x+my=1.\]
**Krok \(3\).** Mnożymy drugie równanie przez \(2\), aby przy \(x\) pojawiła się ta sama liczba co w pierwszym równaniu:
\[2x+2my=2.\]
Wyrazy wolne już się zgadzają (w obu równaniach jest \(2\)) i przy \(x\) w obu stoi \(2\).
**Krok \(4\).** Aby równania były identyczne, muszą zgadzać się jeszcze współczynniki przy \(y\):
\[2m=-1\quad\Longrightarrow\quad m=-\frac12.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(m=-\frac12\) drugie równanie to \(x-\frac12y=1\), a po pomnożeniu przez \(2\) otrzymujemy \(2x-y=2\), czyli dokładnie pierwsze równanie. Układ sprowadza się do jednego równania prostej, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.
**Uwaga.** Sprawdzenie musi obejmować także wyrazy wolne. Gdyby współczynniki przy \(x\) i \(y\) były proporcjonalne, ale wyrazy wolne nie, proste byłyby równoległe i rozłączne, a układ nie miałby żadnego rozwiązania.
**Odpowiedź.** D, czyli \(m=-\frac12\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 7.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
