Monotoniczność funkcji liniowej
Zadanie 6, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem
\[f(x)=(m\sqrt5-1)x+3.\]
Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek
**A.** \(m>\frac1{\sqrt5}\)
**B.** \(m>1-\sqrt5\)
**C.** \(m<\sqrt5-1\)
**D.** \(m<\frac1{\sqrt5}\)
Odpowiedź
**A.** \(m>\frac1{\sqrt5}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wzór \(f(x)=\left(m\sqrt5-1\right)x+3\) opisuje funkcję liniową \(f(x)=ax+b\), w której współczynnikiem kierunkowym jest cała liczba \(a=m\sqrt5-1\), a wyrazem wolnym \(b=3\). O monotoniczności funkcji liniowej decyduje wyłącznie znak współczynnika kierunkowego: funkcja jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy \(a\gt0\).
**Krok \(2\).** Zapisujemy więc warunek:
\[m\sqrt5-1\gt0.\]
**Krok \(3\).** Przenosimy \(-1\) na prawą stronę:
\[m\sqrt5\gt1.\]
**Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt5\). Liczba \(\sqrt5\) jest dodatnia, więc znak nierówności **nie** zmienia się:
\[m\gt\frac{1}{\sqrt5}.\]
**Krok \(5\).** Dla porządku można usunąć niewymierność z mianownika:
\[\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\approx0{,}45.\]
**Uwaga.** Wyraz wolny \(3\) nie ma żadnego wpływu na to, czy funkcja rośnie — przesuwa tylko wykres w górę. Warunek dotyczy wyłącznie współczynnika przy \(x\).
**Odpowiedź.** A: \(m\gt\frac{1}{\sqrt5}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja liniowa - monotoniczność zależna od znaku współczynnika kierunkowego.
