Nierówności
Zadanie 18, czerwiec 2016, poziom podstawowy
\(y =\) −ax + \(2a\)
Układ równań b nie ma rozwiązań dla
\(y = x - 2\)
\(3\)
A. \(a = -1\) i \(b = -3\)
B. \(a =1\) i \(b = 3\)
C. \(a =1\) i \(b = -3\)
D. \(a = -1\) i \(b = 3\)
Odpowiedź
**C.** \(a =1\) i \(b = -3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozważany układ ma postać
\[\begin{cases}y=-ax+2a,\\ y=\dfrac{b}{3}x-2.\end{cases}\]
Oba równania są zapisane w postaci kierunkowej, czyli każde z nich opisuje prostą. Rozwiązanie układu to punkt wspólny tych prostych, więc układ nie ma rozwiązań dokładnie wtedy, gdy proste nie mają punktu wspólnego — są równoległe i różne.
**Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe: dla pierwszej prostej jest to \(-a\), dla drugiej \(\frac{b}{3}\). Warunek równoległości to ich równość:
\[-a=\frac{b}{3}.\]
**Krok \(3\).** Sama równoległość to za mało — proste równoległe mogłyby się pokrywać, a wtedy rozwiązań byłoby nieskończenie wiele. Dopisujemy więc drugi warunek: wyrazy wolne muszą być różne:
\[2a\neq-2,\qquad\text{czyli}\qquad a\neq-1.\]
**Krok \(4\).** Sprawdzamy odpowiedź A (\(a=-1\), \(b=-3\)): \(-a=1\), a \(\frac{b}{3}=\frac{-3}{3}=-1\). Liczby \(1\) i \(-1\) są różne, więc proste nie są równoległe — przecinają się i układ ma rozwiązanie.
**Krok \(5\).** Sprawdzamy odpowiedź B (\(a=1\), \(b=3\)): \(-a=-1\), a \(\frac{b}{3}=1\). Znowu różne — proste się przecinają.
**Krok \(6\).** Sprawdzamy odpowiedź C (\(a=1\), \(b=-3\)): \(-a=-1\) oraz \(\frac{b}{3}=\frac{-3}{3}=-1\) — współczynniki kierunkowe są równe, więc proste są równoległe. Wyrazy wolne to \(2a=2\) oraz \(-2\), a \(2\neq-2\), więc proste są różne. Nie mają punktu wspólnego, czyli układ nie ma rozwiązań.
**Krok \(7\).** Dla pewności sprawdzamy jeszcze D (\(a=-1\), \(b=3\)): \(-a=1\) i \(\frac{b}{3}=1\) — proste są równoległe, ale wyraz wolny pierwszej to \(2a=-2\), czyli taki sam jak w drugiej. Proste się pokrywają, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a nie zero.
**Uwaga.** Cała trudność tego zadania polega na rozróżnieniu dwóch sytuacji: proste równoległe i różne dają brak rozwiązań, a proste pokrywające się — nieskończenie wiele. Odpowiedzi C i D obie spełniają warunek równoległości, dopiero porównanie wyrazów wolnych rozstrzyga, która jest właściwa.
**Odpowiedź.** C: \(a=1\) i \(b=-3\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 18.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
