Zadanie 3 – matura z matematyki czerwiec 2011, poziom rozszerzony

a=\(3\), b=\(12\), c=\(48\). Geometryczność daje \(b^{2}\)=ac. Arytmetyczność przekształconego ciągu daje \(4b\)=\(3a\)+\(3\)+c−\(12\), a warunek sumy \(3a\)+\(3\)+\(2b\)=c−\(12\). Rozwiązanie układu prowadzi do jedynej trójki spełniającej warunki.

**Krok \(1\).** W treści są trzy niezależne informacje: jeden ciąg jest geometryczny, drugi arytmetyczny, a dodatkowo suma dwóch pierwszych wyrazów drugiego ciągu równa się jego trzeciemu wyrazowi. Każdą z nich zamieniamy na równanie — dostaniemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi \(a\), \(b\), \(c\). **Krok \(2\).** Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów: \[b^2=ac.\quad(1)\] **Krok \(3\).** Ciąg \((3a+3,\,2b,\,c-12)\) jest arytmetyczny, więc podwojony wyraz środkowy równa się sumie sąsiadów: \[2\cdot2b=(3a+3)+(c-12),\qquad\text{czyli}\qquad 4b=3a+c-9.\quad(2)\] **Krok \(4\).** Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa trzeciemu: \[(3a+3)+2b=c-12,\qquad\text{czyli}\qquad 2b=c-3a-15.\quad(3)\] **Krok \(5\).** Równania \((2)\) i \((3)\) są liniowe, więc zaczynamy od nich. Mnożymy \((3)\) stronami przez \(2\): \(4b=2c-6a-30\). Porównujemy z \((2)\): \[3a+c-9=2c-6a-30,\qquad 9a+21=c.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy \(c=9a+21\) do \((3)\): \[2b=(9a+21)-3a-15=6a+6,\qquad\text{więc}\qquad b=3a+3.\] **Krok \(7\).** Teraz wykorzystujemy równanie \((1)\), do którego wstawiamy \(b\) i \(c\) wyrażone przez \(a\): \[(3a+3)^2=a(9a+21),\qquad 9a^2+18a+9=9a^2+21a.\] Wyrazy \(9a^2\) się redukują, zostaje \(9=3a\), czyli \(a=3\). **Krok \(8\).** Stąd \(b=3\cdot3+3=12\) oraz \(c=9\cdot3+21=48\). **Krok \(9\).** Sprawdzamy wszystkie trzy warunki. Ciąg \((3,12,48)\) jest geometryczny o ilorazie \(4\). Ciąg \((3\cdot3+3,\,2\cdot12,\,48-12)=(12,24,36)\) jest arytmetyczny o różnicy \(12\). Wreszcie \(12+24=36\) — suma dwóch pierwszych wyrazów równa się trzeciemu. **Uwaga.** Łatwo pomylić własności obu ciągów. W arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów (\(2b_2=b_1+b_3\)), a w geometrycznym jego kwadrat jest iloczynem sąsiadów (\(b_2^2=b_1b_3\)). Zamiana tych wzorów miejscami przekreśla całe rozwiązanie. **Odpowiedź.** \(a=3\), \(b=12\), \(c=48\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (arytmetycznego) i zapisanie równania, np. \(b^{2}=a\cdot c\) albo \(2(2b)=(3a+3)+(c-12)\) albo \(2(2aq)=(3a+3)+\left(aq^{2}-12\right)\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie układu równań z trzema lub dwiema niewiadomymi, np. \(\begin{cases}b^{2}=ac\\ 4b=3a+3+c-12\end{cases}\) lub \(\begin{cases}b^{2}=ac\\ 3a+3+2b=c-12\end{cases}\) lub \(4aq=3a+3+aq^{2}-12\) lub \(a\left(q^{2}-4q+3\right)=9\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – doprowadzenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np. \(q^{2}-7q+12=0\). **Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)** **Rozwiązanie bezbłędne** – \(a=3\), \(b=12\), \(c=48\). Uwaga: jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. Jeżeli zdający rozwiązuje układ z niewiadomymi \(a\), \(q\) i nie odrzuci rozwiązania \(q=[\ldots]\), to otrzymuje \(4\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i arytmetycznego w układzie równań.