Równania kwadratowe
Zadanie 4, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[6\sin^2x+7\cos x-1=0\]
dla \(x\in\langle0,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
\(x=\frac{2\pi}{3}\) lub \(x=\frac{4\pi}{3}\). Po podstawieniu \(\sin^2x=1-\cos^2x\) równanie przyjmuje postać \(6\cos^2x-7\cos x-5=0\), skąd \(\cos x=-\frac12\) (wartość \(\frac53\) odrzucamy).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W równaniu występują dwie różne funkcje trygonometryczne tego samego argumentu: \(\sin x\) i \(\cos x\). Standardowy pierwszy ruch to sprowadzenie wszystkiego do jednej z nich za pomocą jedynki trygonometrycznej. Ponieważ sinus występuje w kwadracie, wygodnie jest zostawić cosinus.
**Krok \(2\).** Z tożsamości \(\sin^2x+\cos^2x=1\) mamy \(\sin^2x=1-\cos^2x\). Podstawiamy:
\[6(1-\cos^2x)+7\cos x-1=0.\]
**Krok \(3\).** Porządkujemy:
\[6-6\cos^2x+7\cos x-1=0,\]
\[-6\cos^2x+7\cos x+5=0,\]
a po pomnożeniu przez \(-1\):
\[6\cos^2x-7\cos x-5=0.\]
**Krok \(4\).** Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \(t=\cos x\), pamiętając, że cosinus przyjmuje tylko wartości z przedziału \(\langle-1,1\rangle\). Otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe
\[6t^2-7t-5=0.\]
**Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik: \(\Delta=(-7)^2-4\cdot6\cdot(-5)=49+120=169\), \(\sqrt{\Delta}=13\), więc
\[t_1=\frac{7-13}{12}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{7+13}{12}=\frac{20}{12}=\frac53.\]
**Krok \(6\).** Wartość \(t_2=\frac53\) jest większa od \(1\), a cosinus nigdy takiej wartości nie przyjmuje — odrzucamy ją. Zostaje \(\cos x=-\frac12\).
**Krok \(7\).** Szukamy w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) kątów o cosinusie \(-\frac12\). Kąt podstawowy to \(\frac{\pi}{3}\) (bo \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\)), a cosinus jest ujemny w drugiej i trzeciej ćwiartce, więc
\[x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{lub}\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.\]
**Uwaga.** Dwie rzeczy trzeba sprawdzić na końcu: czy otrzymana wartość \(t\) mieści się w \(\langle-1,1\rangle\) (to eliminuje \(\frac53\)) oraz czy podane kąty należą do przedziału z treści zadania — poza nim rozwiązań jest nieskończenie wiele, ale ich nie wypisujemy.
**Odpowiedź.** \(x=\dfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\dfrac{4\pi}{3}\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.*
**Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania** – zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np. \(-6\cos^{2}x+7\cos x+5=0\) lub \(6\cos^{2}x-7\cos x-5=0\).
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np. \(t=\cos x\), i zapisanie równania w postaci \(-6t^{2}+7t+5=0\) lub \(6t^{2}-7t-5=0\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – rozwiązanie równania kwadratowego \(\left(t=-\frac{1}{2}\right.\) lub \(\left.t=\frac{5}{3}\right)\) i odrzucenie rozwiązania \(t=\frac{5}{3}\).
**Rozwiązanie pełne** – rozwiązanie równania w podanym przedziale: \(x=\frac{2}{3}\pi\) lub \(x=\frac{4}{3}\pi\), albo \(x=120^\circ\) lub \(x=240^\circ\).
Uwagi: nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np. \(t\in(-1,1)\), o ile z dalszego ciągu rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia go. Jeżeli zdający rozwiąże poprawnie równanie kwadratowe i na tym zakończy, nie odrzucając rozwiązania \(t=\frac{5}{3}\), to otrzymuje \(2\) punkty. Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego \(x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi\), \(x=\frac{4}{3}\pi+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, to otrzymuje \(4\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie równania trygonometrycznego przez sprowadzenie do równania kwadratowego.
