Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 2, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[2x^2-(m-2)x-3m=0\]
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\), spełniające warunek
\[x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\leqslant25.\]
Odpowiedź
m∈[−\(24\),−\(10\)−\(4\sqrt{6}\))∪(−\(10+4\sqrt{6}\),\(4\)]. Dwa różne pierwiastki wymagają Δ=\(m^{2}\)+\(20m\)+\(4>0\). Warunek z treści zapisujemy jako (\(x_{1}\)+\(x_{2}\))\(2\)−\(4\)\(x_{1}\)\(x_{2}\)≤\(25\) i stosujemy wzory Viète'a, otrzymując \(m^{2}\)+\(20m\)−\(96\leq 0\), czyli m∈[−\(24\),\(4\)].
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Zapisujemy układ warunków:
XI +\(X^{2}\) —\(2XlX2\) ś \(25\)
Rozwiązujemy nierówność A > O •
(m —\(2\))\(2\) + \(24m\) > O ,
m \(2\) + \(20m\) +\(4>0\)
Rozwiązujemy nierówność + \(X^{2}\) — \(25\)
(XI ś \(25\)
\(2\)
b
a
— \(4Źś25\)
a
+\(20m\)-\(96śO\)
Otrzymujemy m e \(24\),\(4\))
Częścią wspólną obu zbiorów jest suma przedziałów —\(24\), (—\(10\)+\(44Ô\) \(4\))
**Odpowiedź.** m∈[−\(24\),−\(10\)−\(4\sqrt{6}\))∪(−\(10+4\sqrt{6}\),\(4\)]. Dwa różne pierwiastki wymagają Δ=\(m^{2}\)+\(20m\)+\(4>0\). Warunek z treści zapisujemy jako (\(x_{1}\)+\(x_{2}\))\(2\)−\(4\)\(x_{1}\)\(x_{2}\)≤\(25\) i stosujemy wzory Viète'a, otrzymując \(m^{2}\)+\(20m\)−\(96\leq 0\), czyli m∈[−\(24\),\(4\)].
Klucz i zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech części.
**1 pkt** – część a): rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\), gdzie \(\Delta=m^{2}+20m+4\), czyli \(m^{2}+20m+4>0\).
**3 pkt** – część b): rozwiązanie nierówności \(x_{1}+x_{2}-2x_{1}x_{2}\le 25\): \(m\in\langle-24,\,4\rangle\).
**1 pkt** – część c): wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności z a) i b).
W ramach drugiej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy:
**Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania** – zapisanie nierówności \(x_{1}+x_{2}-2x_{1}x_{2}\le 25\) w postaci równoważnej albo wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i zapisanie nierówności.
**Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania** – doprowadzenie nierówności do postaci \(m^{2}+20m-96\le 0\).
**Rozwiązanie bezbłędne części b)** – rozwiązanie nierówności: \(m\in\langle-24,\,4\rangle\).
**Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i zapisanie odpowiedzi.
Uwaga: jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy i konsekwentnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań obu nierówności, to otrzymuje \(4\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: równanie kwadratowe z parametrem, wyróżnik i wzory Viète'a.
