Ciąg geometryczny
Zadanie 4, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Liczba \(x\) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(1\) i ilorazie \(\frac1{\sqrt3}\). Liczba \(y\) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(1\) i ilorazie \(-\frac1{\sqrt3}\). Wynika stąd, że liczba \(x-y\) jest równa
**A.** \(0\)
**B.** \(\sqrt3\)
**C.** \(\frac2{\sqrt3-1}\)
**D.** \(3\)
Odpowiedź
**B.** \(\sqrt3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Dla \(q=\frac1{\sqrt3}\):
\[x=\frac1{1-1/\sqrt3}.\]
Dla \(q=-\frac1{\sqrt3}\):
\[y=\frac1{1+1/\sqrt3}.\]
Zatem
\[x-y=\frac1{1-q}-\frac1{1+q}=\frac{2q}{1-q^2}\]
\[=\frac{2/\sqrt3}{1-1/3}=\frac{2/\sqrt3}{2/3}=\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R5.2 rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sum.
