Zadanie 6 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

Z \(a_1+a_3=20\) oraz \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\) wynika \(a_1a_3=36\), więc \(\{a_1,a_3\}=\{2,18\}\). Przypadek \(a_1=2\), \(a_3=18\) daje \(q=\pm3\) i ciąg rozbieżny. Dla \(a_1=18\), \(a_3=2\) mamy \(q=\pm\frac{1}{3}\). Możliwe sumy to \(27\) oraz \(\frac{27}{2}\).

Z warunków zadania wyznaczamy iloczyn \(a_1a_3\). Podnosimy pierwszą równość do kwadratu: \[(a_1+a_3)^{2}=a_1^{2}+2a_1a_3+a_3^{2},\qquad 400=328+2a_1a_3,\qquad a_1a_3=36.\] Liczby \(a_1\) i \(a_3\) są więc pierwiastkami równania \(t^{2}-20t+36=0\), skąd \[\{a_1,a_3\}=\{2,18\}.\] **Przypadek 1: \(a_1=2\), \(a_3=18\).** Wtedy \(q^{2}=\frac{a_3}{a_1}=9\), czyli \(q=3\) albo \(q=-3\). W obu przypadkach \(|q|\geq1\), więc ciąg nie jest zbieżny i warunki zadania nie są spełnione. Ten przypadek odrzucamy. **Przypadek 2: \(a_1=18\), \(a_3=2\).** Wtedy \(q^{2}=\frac{2}{18}=\frac19\), czyli \(q=\frac13\) albo \(q=-\frac13\). Dla obu wartości \(|q|<1\), więc szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Dla \(q=\frac13\): \[S=\frac{18}{1-\frac13}=\frac{18}{\frac23}=27.\] Dla \(q=-\frac13\): \[S=\frac{18}{1+\frac13}=\frac{18}{\frac43}=\frac{27}2.\] **Odpowiedź.** \(S=27\) albo \(S=\frac{27}2\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (\(a_1\) lub \(a_3\), lub \(q\)), np. \(a_1^{2}+(20-a_1)^{2}=328\), \((20-a_3)^{2}+a_3^{2}=328\), \(\frac{400}{(q^{2}+1)^{2}}\cdot(1+q^{4})=328\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2^{2}=36\), \(20^{2}-2a_2^{2}=328\) (dla sposobu III). **2 pkt** – obliczenie \(a_1\): \(a_1=2\) oraz \(a_1=18\) ALBO obliczenie \(a_3\): \(a_3=18\) oraz \(a_3=2\), ALBO obliczenie \(q^{2}\): \(q^{2}=9\) oraz \(q^{2}=\frac{1}{9}\), ALBO zapisanie alternatywy równań \(-\frac{6}{q}-6q=20\) lub \(\frac{6}{q}+6q=20\) (dla sposobu III), ALBO zapisanie równania \(\frac{36}{q^{2}}+36q^{2}=328\) (dla sposobu III). **3 pkt** – obliczenie \(a_1\) oraz \(q\): \((a_1,q)=\left(18,\frac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=\left(18,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=(2,3)\), \((a_1,q)=(2,-3)\) ALBO obliczenie \(a_3\) oraz \(q\): \((a_3,q)=\left(2,\frac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=\left(2,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=(18,3)\), \((a_3,q)=(18,-3)\), ALBO obliczenie \(a_2\) oraz \(q\): \((a_2,q)=(-6,-3)\), \((a_2,q)=\left(-6,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=\left(6,\frac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=(6,3)\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_1,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_1,q)=\left(18,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_1,q)=\left(18,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_3,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_3,q)=\left(2,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_3,q)=\left(2,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_2,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_2,q)=\left(6,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_2,q)=\left(-6,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\) (dla sposobu III). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{27}{2}\) lub \(27\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) (lub parę \((a_1,a_3)=(2,18)\)) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=3\) (albo dla \(q=-3\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (2 punkty za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\)). 3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy i wszystkie z nich spełniają warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: \(S=27\) i \(S=\frac{27}{2}\) i nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz \((a_1,a_3)=(2,18)\), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu: \(S=27\) i \(S=\frac{27}{2}\) lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.