Ciąg geometryczny
Zadanie 1, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny
\[\left(\frac{\sqrt{3}+1}{4},\;\frac{1}{2},\;\frac{\sqrt{3}-1}{2},\;2-\sqrt{3},\ldots\right).\]
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
**A.** \(\displaystyle \frac{5+3\sqrt{3}}{4}\)
**B.** \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
**C.** \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{4(\sqrt{3}-1)}\)
**D.** \(\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{4(\sqrt{3}+3)}\)
Odpowiedź
**A.** \(\displaystyle \frac{5+3\sqrt{3}}{4}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Iloraz ciągu jest równy \(q=\sqrt{3}-1\), zatem \(\lvert q\rvert<1\). Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, otrzymujemy
\[S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{2-\sqrt{3}}=\frac{5+3\sqrt{3}}{4}.\]
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymagania określone w podstawie programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.
