Ciągi
Zadanie 9, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu \(a_6=15\) oraz \(a_{15}=a_3\cdot(a_8-6)\). Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), jest geometryczny i \(b_1=a_{11}\) oraz \(b_2=a_6\).
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \((b_n)\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu \((a_n)\). Wtedy \(a_3=15-3r\), \(a_8=15+2r\), \(a_{15}=15+9r\), więc \(15+9r=(15-3r)(9+2r)\). Stąd \(r\in\{4,-5\}\), a ponieważ ciąg jest rosnący, \(r=4\). Zatem \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), \(q=\frac{3}{7}\), a suma wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu \((a_n)\). Wszystkie potrzebne wyrazy wyrażamy przez \(a_6=15\):
\[a_3=15-3r,\qquad a_8=15+2r,\qquad a_{11}=15+5r,\qquad a_{15}=15+9r.\]
Warunek \(a_{15}=a_3(a_8-6)\) przyjmuje postać
\[15+9r=(15-3r)(9+2r)=135+3r-6r^{2},\]
czyli \(6r^{2}+6r-120=0\), a po podzieleniu przez \(6\)
\[r^{2}+r-20=0,\qquad (r+5)(r-4)=0.\]
Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, więc \(r>0\) i zostaje \(r=4\).
Stąd \(b_1=a_{11}=15+20=35\) oraz \(b_2=a_6=15\), a iloraz ciągu geometrycznego \((b_n)\) wynosi
\[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{15}{35}=\frac37.\]
Ponieważ \(|q|=\frac37<1\), szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{b_1}{1-q}\):
\[S=\frac{35}{1-\frac37}=\frac{35}{\frac47}=\frac{245}4.\]
**Odpowiedź.** \(S=\frac{245}4=61{,}25\)
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\).
**4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\).
**3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\).
**1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza.
2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
