Ciąg geometryczny
Zadanie 7, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(14\). Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa \(392\).
Wyznacz wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[a_{n}=7\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ciąg jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, którego suma wszystkich wyrazów istnieje, więc \(a_1\ne0\) oraz \(|q|<1\); dopiero przy tym założeniu wolno pisać \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Zatem
\[\frac{a_1}{1-q}=14,\qquad a_1=14(1-q).\]
Sześciany wyrazów, czyli \(a_1^{3},a_1^{3}q^{3},a_1^{3}q^{6},\ldots\), też tworzą ciąg geometryczny — o pierwszym wyrazie \(a_1^{3}\) i ilorazie \(q^{3}\). Z \(|q|<1\) wynika \(|q^{3}|<1\), więc i ten szereg jest zbieżny:
\[\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392.\]
Podstawiamy \(a_1=14(1-q)\) i korzystamy z \(1-q^{3}=(1-q)(1+q+q^{2})\):
\[\frac{2744(1-q)^{3}}{(1-q)(1+q+q^{2})}=392,\qquad \frac{7(1-q)^{2}}{1+q+q^{2}}=1.\]
Stąd \(7-14q+7q^{2}=1+q+q^{2}\), czyli \(6q^{2}-15q+6=0\), a po podzieleniu przez \(3\)
\[2q^{2}-5q+2=0,\qquad q=2\ \text{albo}\ q=\frac12.\]
Wartość \(q=2\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(|q|<1\). Dla \(q=\frac12\) otrzymujemy \(a_1=14\cdot\frac12=7\).
**Odpowiedź.** \(a_n=7\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}\)
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – wyznaczenie \(a_1\) w zależności od \(q\): \(a_1=14(1-q)\) ALBO zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(a_1\) oraz \(q\), które wynikają z warunków dotyczących sumy wszystkich wyrazów ciągu i sumy sześcianów wszystkich wyrazów ciągu, np. \(\frac{a_1}{1-q}=14\) oraz \(\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392\).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)), np. \(\frac{\left[14\cdot(1-q)\right]^{3}}{1-q^{3}}=392\), \(\frac{a_1^{3}}{1-\left(1-\frac{a_1}{14}\right)^{3}}=392\).
**3 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)).
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a_n=7\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_n=14\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\).
Uwagi:
1. Jeżeli zdający popełnia w rozwiązaniu błędy rachunkowe, w wyniku których otrzymuje równanie z jedną niewiadomą \(q\), które nie ma rozwiązań spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający zapisuje sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jako sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
