Zadanie 10 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

Z \(a_1+a_3=20\) oraz \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\) wynika \(a_1a_3=36\), więc \(\{a_1,a_3\}=\{2,18\}\). Przypadek \(a_1=2\), \(a_3=18\) daje \(q=\pm3\) i ciąg rozbieżny. Dla \(a_1=18\), \(a_3=2\) mamy \(q=\pm\frac{1}{3}\). Możliwe sumy to \(S=\frac{18}{1-1/3}=27\) oraz \(S=\frac{18}{1+1/3}=\frac{27}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: z sumy i sumy kwadratów wyznaczamy iloczyn \(a_{1}a_{3}\) (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia), a potem obie liczby jako pierwiastki równania kwadratowego. Na końcu sprawdzamy, dla których ilorazów szereg jest zbieżny. **Krok \(2\).** Ze wzoru \((a_{1}+a_{3})^{2}=a_{1}^{2}+2a_{1}a_{3}+a_{3}^{2}\) otrzymujemy \[2a_{1}a_{3}=(a_{1}+a_{3})^{2}-\left(a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\right)=400-328=72,\qquad a_{1}a_{3}=36.\] **Krok \(3\).** Liczby \(a_{1}\) i \(a_{3}\) mają sumę \(20\) i iloczyn \(36\), więc są pierwiastkami równania \[t^{2}-20t+36=0,\qquad \Delta=400-144=256,\qquad t=\frac{20-16}{2}=2\ \ \text{lub}\ \ t=\frac{20+16}{2}=18.\] **Krok \(4\).** W ciągu geometrycznym \(a_{3}=a_{1}q^{2}\), a ponieważ \(a_{1}\neq 0\), mamy \(q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}\). **Krok \(5\).** Przypadek \(a_{1}=2\), \(a_{3}=18\). Wtedy \(q^{2}=9\), czyli \(q=3\) lub \(q=-3\). Ponieważ \(\lvert q\rvert\gt 1\) i \(a_{1}\neq 0\), ciąg nie jest zbieżny — ten przypadek odrzucamy. **Krok \(6\).** Przypadek \(a_{1}=18\), \(a_{3}=2\). Wtedy \(q^{2}=\frac{1}{9}\), czyli \(q=\frac{1}{3}\) lub \(q=-\frac{1}{3}\). W obu sytuacjach \(\lvert q\rvert\lt 1\), więc ciąg jest zbieżny (do zera) i suma wszystkich wyrazów istnieje. Liczymy ją ze wzoru \(S=\frac{a_{1}}{1-q}\). **Krok \(7\).** Dla \(q=\frac{1}{3}\): \[S=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27.\] **Krok \(8\).** Dla \(q=-\frac{1}{3}\): \[S=\frac{18}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{18}{\frac{4}{3}}=\frac{27}{2}.\] **Uwaga.** Warunek zbieżności ciągu (a więc i istnienia sumy szeregu) to \(\lvert q\rvert\lt 1\). To on eliminuje przypadek \(a_{1}=2\) — bez tego warunku otrzymalibyśmy cztery pary \((a_{1},q)\), z których dwie są bezużyteczne. **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(27\) (gdy \(q=\frac{1}{3}\)) albo \(\frac{27}{2}\) (gdy \(q=-\frac{1}{3}\)).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{27}{2}\) lub \(27\). **3 pkt** – obliczenie \(a_1\) oraz \(q\): \((a_1,q)=\left(18,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=\left(18,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=(2,3)\), \((a_1,q)=(2,-3)\) ALBO – obliczenie \(a_3\) oraz \(q\): \((a_3,q)=\left(2,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=\left(2,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=(18,3)\), \((a_3,q)=(18,-3)\), ALBO – obliczenie \(a_2\) oraz \(q\): \((a_2,q)=(-6,-3)\), \((a_2,q)=\left(-6,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=\left(6,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=(6,3)\) (dla sposobu III), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_1,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_1,q)=\left(18,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_1,q)=\left(18,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_3,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_3,q)=\left(2,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_3,q)=\left(2,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_2,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_2,q)=\left(6,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_2,q)=\left(-6,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – obliczenie \(a_1\): \(a_1=2\) oraz \(a_1=18\) ALBO – obliczenie \(a_3\): \(a_3=18\) oraz \(a_3=2\), ALBO – obliczenie \(q^2\): \(q^2=9\) oraz \(q^2=\tfrac{1}{9}\), ALBO – zapisanie alternatywy równań \(-\tfrac{6}{q}-6q=20\) lub \(\tfrac{6}{q}+6q=20\) (dla sposobu III), ALBO – zapisanie równania \(\tfrac{36}{q^2}+36q^2=328\) (dla sposobu III). **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (\(a_1\) lub \(a_3\), lub \(q\)), np. \(a_1^2+(20-a_1)^2=328\), \((20-a_3)^2+a_3^2=328\), \(\frac{400}{(q^2+1)^2}\cdot(1+q^4)=328\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2^2=36\), \(20^2-2a_2^2=328\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) (lub parę \((a_1,a_3)=(2,18)\)) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=3\) (albo dla \(q=-3\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert\geq1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (2 punkty za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\)). 3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy i wszystkie z nich spełniają warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^2+a_3^2=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: \(S=27\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) i nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^2+a_3^2=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz \((a_1,a_3)=(2,18)\), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu: \(S=27\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.