Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 5, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa \(13\) i żadna cyfra nie jest zerem.
Odpowiedź
\[220.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Każda z dziesięciu cyfr jest dodatnia. Odejmujemy więc \(1\) od każdej cyfry. Otrzymujemy dziesięć liczb całkowitych nieujemnych \(y_1,\ldots,y_{10}\), których suma wynosi
\[y_1+\cdots+y_{10}=13-10=3.\]
Ograniczenie cyfry do \(9\) nie ma tu znaczenia, ponieważ suma jest równa tylko \(3\). Liczba nieujemnych rozwiązań tego równania wynosi
\[\binom{3+10-1}{10-1}=\binom{12}{9}=\binom{12}{3}=220.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna odpowiedź: \(220\)
**0 pkt** – odpowiedź niepełna, niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R10.1 wykorzystywanie kombinacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych.
