Ciąg geometryczny
Zadanie 2, maj 2026, poziom rozszerzony
Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). Iloraz tego ciągu jest równy \(\frac{2}{3}\), a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(\frac{9}{4}\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
**A.** \(\frac{3}{4}\)
**B.** \(\frac{4}{3}\)
**C.** \(\frac{3}{2}\)
**D.** \(\frac{27}{4}\)
Odpowiedź
**A.** \(\displaystyle \frac{3}{4}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Iloraz \(q=\frac23\) spełnia warunek \(|q|<1\), więc szereg geometryczny jest zbieżny i jego suma wyraża się wzorem \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Podstawiamy dane:
\[\frac94=\frac{a_1}{1-\frac23}=\frac{a_1}{\frac13}=3a_1.\]
Stąd \(a_1=\frac{9}{4\cdot3}=\frac34\).
**Odpowiedź.** **A.** \(a_1=\frac34\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.
