Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 2, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest \(10\) kul: \(8\) białych i \(2\) czarne, a w drugiej jest \(8\) kul: \(5\) białych i \(3\) czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej urny, jest równe
**A.** \(\frac2{18}\)
**B.** \(\frac{15}{23}\)
**C.** \(\frac8{23}\)
**D.** \(\frac5{18}\)
Odpowiedź
**C.** \(\frac8{23}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(U_1\) i \(U_2\) oznaczają wybór odpowiedniej urny, a \(C\) - wylosowanie czarnej kuli. Mamy
\[P(U_1)=P(U_2)=\frac12,\qquad P(C\mid U_1)=\frac2{10},\qquad P(C\mid U_2)=\frac38.\]
Z twierdzenia Bayesa:
\[P(U_1\mid C)=\frac{P(U_1)P(C\mid U_1)}{P(U_1)P(C\mid U_1)+P(U_2)P(C\mid U_2)}\]
\[=\frac{\frac12\cdot\frac2{10}}{\frac12\cdot\frac2{10}+\frac12\cdot\frac38}=\frac{1/10}{1/10+3/16}=\frac8{23}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R10.2 obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego.
