Równania i nierówności
Zadanie 12, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu \(a_6=15\) oraz \(a_{15}=a_3\cdot(a_8-6)\). Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), jest geometryczny i \(b_1=a_{11}\) oraz \(b_2=a_6\).
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \((b_n)\).
Odpowiedź
Z warunków ciągu arytmetycznego otrzymujemy różnicę \(r=4\). Wtedy \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), więc \(q=\frac{3}{7}\). Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: wszystkie potrzebne wyrazy ciągu arytmetycznego wyrażamy przez znany wyraz \(a_{6}\) i różnicę \(r\), korzystając ze wzoru \(a_{k}=a_{6}+(k-6)r\).
**Krok \(2\).** Mamy \(a_{6}=15\), a ponadto
\[a_{3}=15-3r,\qquad a_{8}=15+2r,\qquad a_{15}=15+9r.\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy do warunku \(a_{15}=a_{3}\cdot(a_{8}-6)\):
\[15+9r=(15-3r)(15+2r-6)=(15-3r)(2r+9).\]
**Krok \(4\).** Rozwijamy prawą stronę: \((15-3r)(2r+9)=30r+135-6r^{2}-27r=-6r^{2}+3r+135\). Stąd
\[6r^{2}+6r-120=0,\qquad r^{2}+r-20=0.\]
**Krok \(5\).** \(\Delta=1+80=81\), więc \(r=\frac{-1-9}{2}=-5\) lub \(r=\frac{-1+9}{2}=4\). Ciąg \((a_{n})\) jest rosnący, więc \(r\gt 0\) i zostaje \(r=4\).
**Krok \(6\).** Wyznaczamy pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego:
\[b_{1}=a_{11}=a_{6}+5r=15+20=35,\qquad b_{2}=a_{6}=15,\qquad q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}.\]
**Krok \(7\).** Ponieważ \(\left|\frac{3}{7}\right|\lt 1\), szereg geometryczny jest zbieżny i suma wszystkich wyrazów istnieje:
\[S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{35}{1-\frac{3}{7}}=\frac{35}{\frac{4}{7}}=\frac{245}{4}.\]
**Uwaga.** Sformułowanie o sumie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego ma sens tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\) — sprawdzenie tego warunku jest częścią rozwiązania, a nie formalnością. Gdyby odrzucona wartość \(r=-5\) została przyjęta, otrzymalibyśmy \(q=-\frac{3}{2}\) i szereg rozbieżny.
**Odpowiedź.** \(S=\frac{245}{4}\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\).
**4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\).
**3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\).
**1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza.
2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3R) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.
