Zadanie 5 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

Liczby \(-3\) i \(2\) dzielą oś na trzy przedziały, w których opuszczamy wartości bezwzględne. Otrzymujemy kolejno \(x\lt -10\), \(x\gt -\frac{2}{3}\) oraz nierówność spełnioną tożsamościowo, czyli \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\).

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Miejsca zerowe wyrażeń \(x-2\) i \(x+3\) dzielą oś liczbową na przedziały, w których każdy moduł opuszczamy w jednoznaczny sposób. **Krok \(2\).** Wyrażenie \(x+3\) zmienia znak w punkcie \(-3\), a \(x-2\) w punkcie \(2\). Rozpatrzymy więc trzy przedziały: \((-\infty,-3)\), \(\langle -3,2)\) oraz \(\langle 2,+\infty)\). Ich suma to cały zbiór \(\mathbb{R}\). **Krok \(3\).** Przypadek \(x\lt -3\). Wtedy \(x-2\lt 0\) i \(x+3\lt 0\), więc nierówność przyjmuje postać \[-(x-2)-2\cdot\left[-(x+3)\right]\lt -2,\qquad -x+2+2x+6\lt -2,\qquad x\lt -10.\] Część wspólna z założeniem: \(x\in(-\infty,-10)\). **Krok \(4\).** Przypadek \(-3\leqslant x\lt 2\). Wtedy \(x-2\lt 0\) i \(x+3\geqslant 0\), więc \[-(x-2)-2(x+3)\lt -2,\qquad -3x-4\lt -2,\qquad -3x\lt 2,\qquad x\gt -\frac{2}{3}.\] Część wspólna z założeniem: \(x\in\left(-\frac{2}{3},\ 2\right)\). **Krok \(5\).** Przypadek \(x\geqslant 2\). Wtedy oba wyrażenia są nieujemne, więc \[(x-2)-2(x+3)\lt -2,\qquad -x-8\lt -2,\qquad x\gt -6.\] Nierówność jest spełniona przez wszystkie rozważane \(x\), więc do rozwiązania należy cały przedział \(\langle 2,+\infty)\). **Krok \(6\).** Sumujemy wyniki z kroków \(3\)–\(5\): \[(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},2\right)\cup\langle 2,+\infty)=(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},\ +\infty\right).\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie kontrolne. Dla \(x=0\): \(\lvert -2\rvert-2\lvert 3\rvert=2-6=-4\lt -2\) — należy do rozwiązania, zgadza się. Dla \(x=-5\): \(7-2\cdot 2=3\), a \(3\lt -2\) jest fałszem — nie należy, i rzeczywiście \(-5\) leży poza wyznaczonym zbiorem. **Uwaga.** Przypadki muszą pokrywać cały zbiór \(\mathbb{R}\), a wynik z każdego z nich trzeba przeciąć z założeniem tego przypadku — inaczej można dopisać liczby, które modułów wcale tak nie opuszczają. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej ALBO zapisanie jednego z przedziałów: \((-\infty,-3)\), \([-3,2)\), \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale – tj. wyznaczenie części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym przedziałem, ALBO zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości bezwzględnej, ALBO zapisanie jednego z trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku – tj. wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności. **2 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów ALBO zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków, ALBO zapisanie trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz zapisanie, że przypadek \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\) jest sprzeczny, ALBO zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x-2<-2+2\cdot\lvert x+3\rvert\) i \(x-2>-(-2+2\cdot\lvert x+3\rvert)\), ALBO narysowanie wykresów funkcji \(f(x)=\lvert x-2\rvert\) oraz \(g(x)=2\cdot\lvert x+3\rvert-2\). **3 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych przedziałów – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności z rozpatrywanymi przedziałami, ALBO zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech następujących przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO zapisanie, że przypadek \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\) jest sprzeczny oraz zapisanie trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x-2<-2+2\cdot\lvert x+3\rvert\) i \(x-2>-(-2+2\cdot\lvert x+3\rvert)\), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: (\(x+3>\frac{1}{2}x\) lub \(x+3<-\frac{1}{2}x\)) i (\(x+3>\frac{4-x}{2}\) lub \(x+3<-\frac{4-x}{2}\)), ALBO odczytanie z wykresów funkcji \(f\) oraz \(g\) pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: \(x=-\frac{2}{3}\) oraz \(x=-10\) i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych. **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd, który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru \(\mathbb{R}\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań \((-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji \(f\) i \(g\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.R4) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.