Czworokąty
Zadanie 7, maj 2025, poziom rozszerzony
W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) punkt \(E\) jest środkiem ramienia \(AD\), a punkt \(F\) jest środkiem ramienia \(BC\) trapezu. Stosunek pola trapezu \(EFCD\) do pola trapezu \(ABFE\) jest równy \(\frac{1}{2}\).
Wykaż, że \(\frac{\lvert CD\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{1}{5}\).
Odpowiedź
Oznaczmy \(a=\lvert AB\rvert\), \(c=\lvert CD\rvert\), a wysokość trapezu przez \(h\). Ponieważ \(E\) i \(F\) są środkami ramion, \(\lvert EF\rvert=\frac{a+c}{2}\), a oba mniejsze trapezy mają wysokość \(\frac{h}{2}\). Zatem \(\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}}=\frac{a+3c}{3a+c}=\frac{1}{2}\). Stąd \(2a+6c=3a+c\), czyli \(a=5c\), a więc \(\frac{\lvert CD\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{1}{5}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(a=\lvert AB\rvert\), \(c=\lvert CD\rvert\) oraz przez \(h\) wysokość trapezu \(ABCD\).
Odcinek \(EF\) łączy środki ramion trapezu, więc jest jego linią środkową:
\[\lvert EF\rvert=\frac{a+c}{2},\]
a ponadto \(EF\parallel AB\parallel CD\), więc oba mniejsze trapezy mają wysokość \(\frac h2\).
Zapisujemy ich pola:
\[P_{EFCD}=\frac{\frac{a+c}{2}+c}{2}\cdot\frac h2=\frac{h(a+3c)}{8},\qquad P_{ABFE}=\frac{a+\frac{a+c}{2}}{2}\cdot\frac h2=\frac{h(3a+c)}{8}.\]
Z warunku zadania
\[\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}}=\frac{a+3c}{3a+c}=\frac12,\]
skąd \(2a+6c=3a+c\), czyli \(a=5c\). Ponieważ \(a>0\), możemy podzielić stronami:
\[\frac{\lvert CD\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac ca=\frac15,\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** \(\dfrac{\lvert CD\rvert}{\lvert AB\rvert}=\dfrac15\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – zapisanie \(\lvert EF\rvert=\frac{a+c}{2}\) i wysokości obu mniejszych trapezów równych \(\frac h2\).
**3 pkt** – zapisanie równania \(\frac{a+3c}{3a+c}=\frac12\).
**4 pkt** – wyprowadzenie \(a=5c\) i wniosku o stosunku podstaw.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.11) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.
