Zadanie 9 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

Punkty \(-3\) i \(2\) wyznaczają przedziały analizy wartości bezwzględnych. Po ich rozpatrzeniu otrzymujemy \(x<-10\) albo \(x>-\frac{2}{3}\). Zatem \[x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right).\]

**Krok \(1\).** Metoda: dzielimy oś liczbową punktami, w których wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi zmieniają znak, czyli \(x=-3\) i \(x=2\), i w każdym z trzech przedziałów opuszczamy moduły. **Krok \(2\).** Przypadek \(x\in(-\infty,-3)\): wtedy \(x-2\lt 0\) i \(x+3\lt 0\), więc \(|x-2|=2-x\), \(|x+3|=-x-3\). Nierówność przyjmuje postać \[2-x+2(x+3)\lt -2,\qquad x+8\lt -2,\qquad x\lt -10.\] Część wspólna z rozważanym przedziałem: \((-\infty,-10)\). **Krok \(3\).** Przypadek \(x\in[-3,2)\): wtedy \(|x-2|=2-x\), \(|x+3|=x+3\), więc \[2-x-2(x+3)\lt -2,\qquad -3x-4\lt -2,\qquad x\gt -\frac{2}{3}.\] Część wspólna: \(\left(-\frac{2}{3},2\right)\). **Krok \(4\).** Przypadek \(x\in[2,+\infty)\): wtedy \(|x-2|=x-2\), \(|x+3|=x+3\), więc \[x-2-2(x+3)\lt -2,\qquad -x-8\lt -2,\qquad x\gt -6.\] Warunek jest spełniony przez cały rozważany przedział, więc część wspólna to \([2,+\infty)\). **Krok \(5\).** Zbiór rozwiązań całej nierówności to suma trzech otrzymanych zbiorów. Przedziały \(\left(-\frac{2}{3},2\right)\) i \([2,+\infty)\) sklejają się w \(\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\). **Uwaga.** W każdym przypadku obowiązkowe jest wzięcie części wspólnej otrzymanego zbioru z rozważanym przedziałem — bez tego z pierwszego przypadku wpadłyby liczby, dla których użyta postać modułu nie obowiązuje. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\tfrac{2}{3},+\infty\right)\). **3 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych przedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności z rozpatrywanymi przedziałami, ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech następujących przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO – zapisanie, że przypadek \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\) jest sprzeczny oraz zapisanie trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x-2<-2+2\cdot\lvert x+3\rvert\) i \(x-2>-(-2+2\cdot\lvert x+3\rvert)\), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: \(\left(x+3>\tfrac{1}{2}x\ \text{lub}\ x+3<-\tfrac{1}{2}x\right)\) i \(\left(x+3>\tfrac{4-x}{2}\ \text{lub}\ x+3<-\tfrac{4-x}{2}\right)\), ALBO – odczytanie z wykresów funkcji \(f\) oraz \(g\) pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: \(x=-\tfrac{2}{3}\) oraz \(x=-10\) i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych. **2 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków, ALBO – zapisanie trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz zapisanie, że przypadek \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\) jest sprzeczny, ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x-2<-2+2\cdot\lvert x+3\rvert\) i \(x-2>-(-2+2\cdot\lvert x+3\rvert)\), ALBO – narysowanie wykresów funkcji \(f(x)=\lvert x-2\rvert\) oraz \(g(x)=2\cdot\lvert x+3\rvert-2\). **1 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej ALBO – zapisanie jednego z przedziałów: \((-\infty,-3)\), \([-3,2)\), \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym przedziałem, ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości bezwzględnej, ALBO – zapisanie jednego z trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd, który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru \(\mathbb{R}\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań \((-\infty,-10)\cup\left(-\tfrac{2}{3},+\infty\right)\), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji \(f\) i \(g\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.9R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną [...].