Równania i nierówności
Zadanie 11, maj 2025, poziom rozszerzony
W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są okręgi \(O_1\) oraz \(O_2\) o równaniach:
- \(O_1: (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\),
- \(O_2: (x-2)^{2}+(y-4)^{2}=45\).
Te okręgi przecinają się w punktach \(A\) oraz \(B\). Punkt \(A\) ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt \(M\) spełnia warunek \(\overrightarrow{AM}=-2\cdot\overrightarrow{BM}\). Oblicz współrzędne punktów \(A\), \(B\) oraz \(M\).
Odpowiedź
Po odjęciu równań okręgów otrzymujemy prostą \(x+7y+15=0\). Jej punkty przecięcia z \(O_1\) to \(A=(\frac{16}{5},-\frac{13}{5})\) oraz \(B=(-1,-2)\); punkt \(A\) ma dodatnią pierwszą współrzędną. Z równania \(M-A=-2(M-B)\) wynika \(M=\frac{A+2B}{3}=(\frac{2}{5},-\frac{11}{5})\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: odejmując równania obu okręgów stronami, likwidujemy wyrazy kwadratowe i otrzymujemy równanie prostej zawierającej wspólną cięciwę \(AB\).
**Krok \(2\).** Odejmujemy równania:
\[(x-1)^{2}+(y+3)^{2}-\left[(x-2)^{2}+(y-4)^{2}\right]=5-45,\]
\[(2x-3)+(14y-7)=-40,\qquad 2x+14y=-30,\qquad x+7y+15=0.\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy \(x=-7y-15\) do równania okręgu \(O_{1}\):
\[(-7y-16)^{2}+(y+3)^{2}=5,\qquad 49y^{2}+224y+256+y^{2}+6y+9=5,\]
\[50y^{2}+230y+260=0,\qquad 5y^{2}+23y+26=0.\]
**Krok \(4\).** \(\Delta=529-520=9\), więc \(y=\frac{-23-3}{10}=-\frac{13}{5}\) lub \(y=\frac{-23+3}{10}=-2\).
**Krok \(5\).** Wyznaczamy odcięte: dla \(y=-\frac{13}{5}\) mamy \(x=\frac{91}{5}-15=\frac{16}{5}\), a dla \(y=-2\) mamy \(x=14-15=-1\).
**Krok \(6\).** Pierwsza współrzędna punktu \(A\) jest dodatnia, więc
\[A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right),\qquad B=(-1,-2).\]
**Krok \(7\).** Warunek \(\overrightarrow{AM}=-2\cdot\overrightarrow{BM}\) zapisujemy wektorowo: \(M-A=-2(M-B)\), skąd \(3M=A+2B\), czyli \(M=\frac{A+2B}{3}\).
**Krok \(8\).** Obliczamy współrzędne:
\[x_{M}=\frac{\frac{16}{5}-2}{3}=\frac{\frac{6}{5}}{3}=\frac{2}{5},\qquad y_{M}=\frac{-\frac{13}{5}-4}{3}=\frac{-\frac{33}{5}}{3}=-\frac{11}{5}.\]
**Uwaga.** Zależność \(\overrightarrow{AM}=-2\cdot\overrightarrow{BM}\) oznacza, że wektory mają przeciwne zwroty, więc \(M\) leży między \(A\) i \(B\) i dzieli odcinek \(AB\) w stosunku \(2:1\) licząc od \(A\). To dobry sposób na sprawdzenie wyniku.
**Odpowiedź.** \(A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)\), \(B=(-1,-2)\), \(M=\left(\frac{2}{5},-\frac{11}{5}\right)\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(A=\left(\tfrac{16}{5},-\tfrac{13}{5}\right)\), \(B=(-1,-2)\) oraz \(M=\left(\tfrac{2}{5},-\tfrac{11}{5}\right)\).
**4 pkt** – zapisanie równania \(\left[x_M-\tfrac{16}{5},\ y_M-\left(-\tfrac{13}{5}\right)\right]=-2\cdot\left[x_M-(-1),\ y_M-(-2)\right]\)
ALBO
– zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, który pozwala obliczyć współrzędne punktu \(M\), np. \(\sqrt{(-1-x_M)^2+(-2-y_M)^2}=\sqrt{2}\) oraz \(\sqrt{(x_M-3{,}2)^2+(y_M+2{,}6)^2}=2\sqrt{2}\),
ALBO
– obliczenie współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\): \(A=\left(\tfrac{16}{5},-\tfrac{13}{5}\right)\) i \(B=(-1,-2)\) oraz zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\).
**3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\): \(A=\left(\tfrac{16}{5},-\tfrac{13}{5}\right)\) oraz \(B=(-1,-2)\)
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np. \((-7y-15-2)^2+(y-4)^2=45\) oraz zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np. \((-7y-15-2)^2+(y-4)^2=45\),
ALBO
– wyznaczenie równania prostej \(AB\), np. \(2x+14y=-30\) oraz zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\),
ALBO
– zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej \(AB\),
ALBO
– zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\): \(\left(\tfrac{11}{10},-\tfrac{23}{10}\right)\).
**1 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(AB\), np. \(2x+14y=-30\)
ALBO
– zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\),
ALBO
– zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: \(7\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt \(A\) jako \((-1,-2)\), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty \(A\) oraz \(B\), których pierwsze współrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje zadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty \(A\) oraz \(B\), których pierwsze współrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\)).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
8.5R) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) […];
8.7R) Zdający oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach.
