Ciąg geometryczny
Zadanie 11, maj 2023, poziom rozszerzony
Określamy kwadraty \(K_1,K_2,K_3,\ldots\) następująco:
- \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\),
- \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\),
- \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\),
- i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 2\), kwadrat \(K_n\) ma każdy wierzchołek na innym boku kwadratu \(K_{n-1}\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
Odpowiedź
Suma obwodów wynosi \(\displaystyle \frac{8(4+\sqrt{10})a}{3}\). Iloraz szeregu obwodów jest równy \(\displaystyle q=\frac{\sqrt{10}}{4}\), a pierwszy wyraz to \(4a\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek kwadratu \(K_2\) dzieli bok kwadratu \(K_1\) w stosunku \(1:3\), więc odcina od niego części o długościach \(\frac a4\) i \(\frac{3a}4\). Bok kwadratu \(K_2\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o takich przyprostokątnych:
\[a_2=\sqrt{\left(\frac a4\right)^{2}+\left(\frac{3a}4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10a^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{10}}4a.\]
Ten sam rachunek stosuje się do każdej kolejnej pary kwadratów, więc stosunek długości boków — a zatem także obwodów — jest stały i równy
\[q=\frac{\sqrt{10}}4.\]
Ponieważ \(\sqrt{10}<4\), zachodzi \(|q|<1\), więc szereg geometryczny obwodów jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{L_1}{1-q}\). Pierwszy obwód wynosi \(L_1=4a\), zatem
\[S=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{16a\left(4+\sqrt{10}\right)}{16-10}=\frac{8\left(4+\sqrt{10}\right)}3\,a.\]
**Odpowiedź.** \(S=\frac{8\left(4+\sqrt{10}\right)}3\,a\)
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(L=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}\) (lub \(L=\frac{8\cdot(4+\sqrt{10})a}{3}\)).
**3 pkt** – zapisanie: \(L=4a\left(1+\frac{\sqrt{10}}{4}+\frac{5}{8}+\ldots\right)\).
**2 pkt** – obliczenie ilorazu ciągu: \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}\).
**1 pkt** – obliczenie długości boku drugiego kwadratu: \(a_{2}=\frac{\sqrt{10}}{4}a\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Uwagi:**
1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie ilorazu \(q\) ciągu, o ile \(q\in(0,\,1)\), oraz za konsekwentne obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów).
3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu \(K_{1}\) i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje \(2\) punkty za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz \(q\) ciągu, który jest liczbą spoza przedziału \((0,\,1)\), to może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt za całe rozwiązanie (za poprawne obliczenie \(a_{2}\)).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R5.2) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.
