Zadanie 10 – matura z matematyki maj 2023, poziom rozszerzony

\(x\in\left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right)\). Po zapisaniu \(\sqrt{(x+2)^{2}}=\lvert x+2\rvert\) oraz \(\sqrt{(x-3)^{2}}=\lvert x-3\rvert\) rozwiązujemy nierówność \(\lvert x+2\rvert+\lvert x-3\rvert\lt\frac{25}{3}\), rozpatrując przedziały wyznaczone przez liczby \(-2\) i \(3\).

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy ze wskazówki \(\sqrt{a^{2}}=\lvert a\rvert\). Najpierw zwijamy oba trójmiany do kwadratów dwumianów, a potem opuszczamy wartości bezwzględne w przedziałach wyznaczonych przez ich miejsca zerowe. **Krok \(2\).** Zwijamy trójmiany: \[x^{2}+4x+4=(x+2)^{2},\qquad x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.\] Zatem \[\sqrt{x^{2}+4x+4}=\lvert x+2\rvert,\qquad \sqrt{x^{2}-6x+9}=\lvert x-3\rvert.\] **Krok \(3\).** Nierówność przyjmuje równoważną postać \[\lvert x+2\rvert\lt\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert,\qquad\text{czyli}\qquad \lvert x+2\rvert+\lvert x-3\rvert\lt\frac{25}{3}.\] **Krok \(4\).** Miejsca zerowe wyrażeń pod modułami to \(-2\) i \(3\). Dzielą one oś liczbową na trzy przedziały: \((-\infty,-2)\), \(\langle -2,3)\) oraz \(\langle 3,+\infty)\). Rozpatrujemy je kolejno. **Krok \(5\).** Przypadek \(x\lt -2\). Wtedy \(x+2\lt 0\) i \(x-3\lt 0\), więc \[-(x+2)-(x-3)\lt\frac{25}{3},\qquad -2x+1\lt\frac{25}{3},\qquad x\gt -\frac{11}{3}.\] Uwzględniając założenie tego przypadku, otrzymujemy \(x\in\left(-\frac{11}{3},-2\right)\). **Krok \(6\).** Przypadek \(-2\leqslant x\lt 3\). Wtedy \(x+2\geqslant 0\) i \(x-3\lt 0\), więc \[(x+2)-(x-3)=5\lt\frac{25}{3}.\] Nierówność jest prawdziwa niezależnie od \(x\), więc cały przedział \(\langle -2,3)\) należy do rozwiązania. **Krok \(7\).** Przypadek \(x\geqslant 3\). Wtedy oba wyrażenia są nieujemne, więc \[(x+2)+(x-3)\lt\frac{25}{3},\qquad 2x-1\lt\frac{25}{3},\qquad x\lt\frac{14}{3}.\] Stąd \(x\in\left\langle 3,\frac{14}{3}\right)\). **Krok \(8\).** Sumujemy zbiory z kroków \(5\)–\(7\): \[\left(-\frac{11}{3},-2\right)\cup\left\langle -2,3\right)\cup\left\langle 3,\frac{14}{3}\right)=\left(-\frac{11}{3},\ \frac{14}{3}\right).\] **Uwaga.** Wyrażenie \(\lvert x+2\rvert+\lvert x-3\rvert\) to suma odległości punktu \(x\) od \(-2\) i od \(3\). Dla \(x\) między nimi suma ta jest stale równa \(5\) — dlatego środkowy przypadek daje nierówność bez niewiadomej. **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\frac{11}{3},\ \frac{14}{3}\right)\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x\in\left(-\frac{11}{3},\,\frac{14}{3}\right)\). **3 pkt** – rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa \(\mathbb{R}\)/wyczerpujących zbiór \(\mathbb{R}\)) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x+2<\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\) i \(x+2>-\left(\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\right)\), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: \(x-3<\frac{19}{3}-x\) i \(x-3>-\left(\frac{19}{3}-x\right)\) i \(x-3<x+\frac{31}{3}\) i \(x-3>-\left(x+\frac{31}{3}\right)\), ALBO – odczytanie z wykresów funkcji \(f\) oraz \(g\) pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: \(x=-\frac{11}{3}\) oraz \(x=\frac{14}{3}\) i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych. **2 pkt** – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej i zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: \((-\infty,\,-2)\), \(\langle-2,\,3)\), \(\langle 3,\,+\infty)\), lub w czterech przypadkach: \(x+2<0\) i \(x-3<0\), \(x+2<0\) i \(x-3\ge 0\), \(x+2\ge 0\) i \(x-3<0\), \(x+2\ge 0\) i \(x-3\ge 0\) (z dokładnością do domknięcia) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x+2<\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\) i \(x+2>-\left(\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\right)\), ALBO – narysowanie wykresów funkcji \(f(x)=\lvert x+2\rvert\) oraz \(g(x)=\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\). **1 pkt** – przekształcenie danej nierówności do postaci \(\lvert x+2\rvert<\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji \(f(x)=\lvert x+2\rvert\) albo \(g(x)=\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\), ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci \(\lvert x+2\rvert\) oraz \(\lvert x-3\rvert\) oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań). 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań \(x\in\left(-\frac{11}{3},\,\frac{14}{3}\right)\), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji \(f\) i \(g\), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.8) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym niż: \(||x+1|-2|=3\), \(|x+3|+|x-5|>12\).