Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 12, maj 2023, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie \(3\sin^2 x-\sin^2(2x)=0\) w przedziale \(\langle\pi,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{\pi,\tfrac{7\pi}{6},\tfrac{11\pi}{6},2\pi\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\):
\[3\sin^{2}x-4\sin^{2}x\cos^{2}x=\sin^{2}x\left(3-4\cos^{2}x\right)=0.\]
Równanie sprowadza się do alternatywy
\[\sin x=0\qquad\text{lub}\qquad \cos^{2}x=\tfrac34,\ \text{czyli}\ \cos x=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}.\]
W przedziale \(\langle\pi,2\pi\rangle\):
- \(\sin x=0\) daje \(x=\pi\) oraz \(x=2\pi\),
- \(\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\) daje \(x=\tfrac{7\pi}{6}\) (wartość \(\tfrac{5\pi}{6}\) leży poza przedziałem),
- \(\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}\) daje \(x=\tfrac{11\pi}{6}\) (wartość \(\tfrac{\pi}{6}\) leży poza przedziałem).
**Odpowiedź.** \(x\in\left\{\pi,\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6},2\pi\right\}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: \(\pi\), \(\frac{7\pi}{6}\), \(\frac{11\pi}{6}\), \(2\pi\).
**3 pkt** – przekształcenie równania \(3\sin^{2}x-\sin^{2}2x=0\) do alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie dwóch z otrzymanych równań w zbiorze \(\mathbb{R}\) lub jednego z nich w przedziale \(\langle\pi,\,2\pi\rangle\).
**2 pkt** – zapisanie alternatywy równań: \(\sin^{2}x=0\) lub \(3-4\cos^{2}x=0\)
ALBO
– zapisanie alternatywy równań: \(\sin^{2}x=0\) lub \(4\sin^{2}x-1=0\),
ALBO
– zapisanie alternatywy równań: \(\sqrt{3}\sin x-2\sin x\cos x=0\) lub \(\sqrt{3}\sin x+2\sin x\cos x=0\),
ALBO
– zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą \(t=\cos^{2}x\) (np. \(4t^{2}-7t+3=0\) i \(t=1\) oraz \(t=\frac{3}{4}\)),
ALBO
– zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą \(t=\sin^{2}x\) (np. \(4t^{2}-t=0\) i \(t=0\) oraz \(t=\frac{1}{4}\)),
ALBO
– zapisanie alternatywy równań: \(\lvert\sin x\rvert=0\) lub \(\sqrt{3}-2\lvert\cos x\rvert=0\).
**1 pkt** – przekształcenie równania \(3\sin^{2}x-\sin^{2}2x=0\) do jednej z poniższych postaci: \(\sin^{2}x\,(3-4\cos^{2}x)=0\) lub \(\sin^{2}x\,(4\sin^{2}x-1)=0\), lub \(4\cos^{4}x-7\cos^{2}x+3=0\), lub \(4\sin^{4}x-\sin^{2}x=0\), lub \((\sqrt{3}\sin x-\sin 2x)(\sqrt{3}\sin x+\sin 2x)=0\), lub \(\lvert\sqrt{3}\sin x\rvert=\lvert\sin 2x\rvert\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.
**Uwagi:**
1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
– podzielenie obu stron równania przez \(\sin x\) (bez stosownego założenia)
– zastosowania niepoprawnej zależności \(\sqrt{a^{2}}=a\)
– zastosowania niepoprawnej zależności \(\sqrt{a^{2}-b^{2}}=a-b\)
i zdający konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej punktacji).
2. Jeżeli zdający, przekształcając lewą stronę równania, zapisze ją w postaci \(\sin x\cdot(3-4\cos^{2}x)\) lub \(\sin x\cdot(\sqrt{3}-2\cos x)(\sqrt{3}+2\cos x)\), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R6.5) Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów;
R6.6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne typu \(\sin 2x=\frac{1}{2}\), \(\sin 2x+\cos x=1\), \(\sin x+\cos x=1\).
