Ciąg geometryczny
Zadanie 10, maj 2023, poziom rozszerzony
Określamy kwadraty \(K_1,K_2,K_3,\ldots\) następująco:
- \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\),
- \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\),
- \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\),
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq2\):
- \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_{n-1}\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
**Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[S=\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Bok kwadratu \(K_2\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(\frac14a\) i \(\frac34a\), zatem
\[a_2=\sqrt{\left(\frac a4\right)^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}4a.\]
Stosunek długości boków kolejnych kwadratów, a więc także ich obwodów, jest równy
\[q=\frac{\sqrt{10}}4.\]
Ponieważ \(0<q<1\), suma obwodów istnieje. Pierwszy wyraz ciągu obwodów jest równy \(4a\), więc
\[S=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}a\)
**3 pkt** – zapisanie szeregu obwodów, np. \(4a\left(1+\frac{\sqrt{10}}4+\frac58+\ldots\right)\), i zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego
**2 pkt** – wyznaczenie ilorazu ciągu obwodów \(q=\frac{\sqrt{10}}4\)
**1 pkt** – obliczenie długości boku drugiego kwadratu \(a_2=\frac{\sqrt{10}}4a\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.R2) Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\) oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów; oblicza sumę szeregu geometrycznego.
