Nierówności
Zadanie 9, maj 2023, poziom rozszerzony
**Rozwiąż nierówność**
\[\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}.\]
**Zapisz obliczenia.**
*Wskazówka: skorzystaj z tego, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) dla każdej liczby rzeczywistej \(a\).*
Odpowiedź
\[x\in\left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wskazówki:
\[\sqrt{x^2+4x+4}=|x+2|,\qquad \sqrt{x^2-6x+9}=|x-3|.\]
Nierówność przyjmuje postać
\[|x+2|<\frac{25}{3}-|x-3|.\]
Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez punkty \(-2\) i \(3\).
Dla \(x<-2\):
\[-x-2<\frac{25}{3}+x-3,\]
\[x>-\frac{11}{3},\]
czyli \(x\in\left(-\frac{11}{3},-2\right)\).
Dla \(-2\leq x<3\):
\[x+2<\frac{25}{3}+x-3,\]
\[5<\frac{25}{3},\]
co jest prawdziwe dla każdego \(x\in[-2,3)\).
Dla \(x\geq3\):
\[x+2<\frac{25}{3}-x+3,\]
\[x<\frac{14}{3},\]
czyli \(x\in\left[3,\frac{14}{3}\right)\).
Suma otrzymanych przedziałów to
\[x\in\left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności i zapisanie zbioru \(\left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right)\)
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech rozpatrywanych przedziałów
**2 pkt** – zapisanie trzech przypadków wynikających z definicji wartości bezwzględnej albo równoważnego układu warunków
**1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \(|x+2|<\frac{25}{3}-|x-3|\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) oraz \(a^2-b^2\). III.R4) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.
