Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 11, maj 2023, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq2\), dla których równanie**
\[x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1,x_2\) spełniające warunek
\[x_1^3+x_2^3>-28.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[m\in\left(\frac{11}{5},\frac94\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy
\[\Delta=16+4\cdot\frac{m-3}{m-2}=\frac{20m-44}{m-2}>0.\]
Stąd
\[m\in(-\infty,2)\cup\left(\frac{11}{5},+\infty\right).\]
Ze wzorów Viète'a:
\[x_1+x_2=-4,\qquad x_1x_2=-\frac{m-3}{m-2}.\]
Korzystamy z tożsamości
\[x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2).\]
Warunek z zadania ma więc postać
\[-64-3\left(-\frac{m-3}{m-2}\right)(-4)>-28,\]
czyli
\[\frac{m-3}{m-2}<-3.\]
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy
\[\frac{4m-9}{m-2}<0,\]
a zatem
\[m\in\left(2,\frac94\right).\]
Część wspólna obu warunków jest równa
\[m\in\left(\frac{11}{5},\frac94\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i odpowiedź \(m\in\left(\frac{11}{5},\frac94\right)\)
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie obu zbiorów warunków, bez ich prawidłowego przecięcia albo z drobnym błędem końcowym
**3 pkt** – rozwiązanie nierówności wynikającej z warunku \(x_1^3+x_2^3>-28\) i otrzymanie \(m\in\left(2,\frac94\right)\)
**2 pkt** – poprawne zapisanie warunku z użyciem wzorów Viète'a i przekształcenie go do nierówności z parametrem \(m\)
**1 pkt** – wyznaczenie warunku \(\Delta>0\), czyli \(m\in(-\infty,2)\cup\left(\frac{11}{5},+\infty\right)\), albo poprawne zastosowanie wzorów Viète'a
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 3. Posługiwanie się językiem matematycznym do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.
**Wymagania szczegółowe:**
III.R3) Zdający stosuje wzory Viète'a dla równań kwadratowych. III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami.
