Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 11, maj 2022, poziom rozszerzony
**Rozwiąż równanie**
\[\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\]
**w przedziale** \(\left\langle0,\pi\right\rangle\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{0,\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\pi\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów:
\[\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x.\]
Równanie przyjmuje postać
\[2\sin2x\cos x+\sin2x=0,\]
\[\sin2x(2\cos x+1)=0.\]
Dla \(x\in\left\langle0,\pi\right\rangle\) pierwsze równanie daje \(x=0,\frac{\pi}{2},\pi\), a drugie \(\cos x=-\frac12\), czyli \(x=\frac{2\pi}{3}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie cztery rozwiązania w zadanym przedziale
**3 pkt** – poprawna alternatywa równań i większość rozwiązań
**2 pkt** – sprowadzenie do \(\sin2x(2\cos x+1)=0\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru \(\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x\)
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R6.5 i R6.6 stosowanie wzorów na sumę sinusów oraz rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
