Równania i nierówności
Zadanie 7, maj 2016, poziom rozszerzony
Dany jest ciąg geometryczny \(a_{n}=(\frac{1}{(2x-371)})^{n}\) dla \(n \geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\)... jest zbieżny.
Odpowiedź
Najmniejszą liczbą całkowitą jest x=\(187\). Szereg geometryczny o ilorazie q=\(1\)/(\(2x\)−\(371\)) ma dodatnie wyrazy i jest zbieżny, gdy \(0\)<q<\(1\), czyli x>\(186\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie \(7\). (\(0-2\))
**Krok \(2\).** III. Modelowanie
**Krok \(3\).** matematyczne.
**Krok \(4\).** \(5\). Ciągi. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza
**Krok \(5\).** ich sumy (\(R_{5}\).\(3\)).
**Krok \(6\).** Przykładowe rozwiązania
**Krok \(7\).** I sposób
**Krok \(8\).** Pierwszym wyrazem ciągu (an) jest ał =
**Odpowiedź.** Najmniejszą liczbą całkowitą jest x=\(187\). Szereg geometryczny o ilorazie q=\(1\)/(\(2x\)−\(371\)) ma dodatnie wyrazy i jest zbieżny, gdy \(0\)<q<\(1\), czyli x>\(186\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy zdający zapisze \(q=\tfrac{1}{2x-371}\) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
**2 pkt** – gdy zapisze najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg jest zbieżny, liczbę \(187\), o ile wynik nie został uzyskany w wyniku błędnego rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy (R5.3).
