Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, maj 2016, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że \(x^{2}+y^{2}=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y \leq 2\).
Odpowiedź
Dla dodatnich \(x,y\) spełniających \(x^2+y^2=2\) zachodzi \(x+y\leq2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Punktem wyjścia jest nierówność prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych:
\[(x-y)^2\geq0,\qquad\text{czyli}\qquad x^2+y^2\geq2xy.\]
Z założenia \(x^2+y^2=2\), więc \(2\geq2xy\), a stąd
\[xy\leq1.\]
Rozwijamy kwadrat sumy i korzystamy z założenia oraz z otrzymanego ograniczenia:
\[(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=2+2xy\leq2+2=4.\]
Liczby \(x\) i \(y\) są dodatnie, więc \(x+y>0\); pierwiastkując nierówność \((x+y)^2\leq4\) stronami, otrzymujemy
\[x+y\leq2,\]
co należało wykazać. Równość zachodzi dokładnie dla \(x=y=1\).
**Odpowiedź.** Nierówność \(x+y\leq2\) jest prawdziwa dla wszystkich dodatnich \(x\), \(y\) spełniających warunek \(x^2+y^2=2\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. 2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a±b)² oraz a²−b² (2.1).
