Logarytmy
Zadanie 19, maj 2006, poziom rozszerzony
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym
\[a_1=2,\qquad a_{n+1}=a_n\cdot\log_2(k-2)\]
dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu \((a_n)\).
Odpowiedź
\[k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z wzoru rekurencyjnego \(a_{n+1}=a_n\cdot\log_2(k-2)\) wynika, że ilorazem ciągu jest
\[q=\log_2(k-2).\]
Zapisujemy wszystkie warunki, zanim zaczniemy rachować.
Po pierwsze, logarytm musi istnieć: \(k-2>0\), czyli \(k>2\).
Po drugie, wszystkie wyrazy mają być różne od zera. Ponieważ \(a_1=2\neq0\), wystarczy \(q\neq0\), czyli \(\log_2(k-2)\neq0\), a stąd \(k-2\neq1\), czyli \(k\neq3\).
Po trzecie, suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\):
\[\left|\log_2(k-2)\right|<1,\qquad -1<\log_2(k-2)<1.\]
Funkcja \(\log_2\) jest rosnąca, więc
\[2^{-1}<k-2<2^{1},\qquad \frac12<k-2<2,\qquad \frac52<k<4.\]
Uwzględniając \(k\neq3\), otrzymujemy
\[k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4).\]
**Odpowiedź.** \(k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 19.** (\(7\) pkt)
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: \(a_{1}=2\), \(a_{n+1}=a_{n}\cdot\log_{2}(k-2)\), dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu \((a_{n})\).
Wyrażenie: \(\log_{2}(k-2)\) jest określone, gdy \(k-2>0\Leftrightarrow k>2\).
Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że iloraz \(q=\log_{2}(k-2)\).
\(q\ne 0\Leftrightarrow\log_{2}(k-2)\ne 0\) czyli \(k\ne 3\).
Aby istniała suma wszystkich wyrazów danego ciągu geometrycznego, iloraz ciągu musi spełniać warunek \(\lvert q\rvert<1\Leftrightarrow\lvert\log_{2}(k-2)\rvert<1\).
Rozwiązuję nierówność: \(\lvert\log_{2}(k-2)\rvert<1\),
\(\log_{2}(k-2)>-1\) i \(\log_{2}(k-2)<1\)
\(\log_{2}(k-2)>\log_{2}\frac{1}{2}\) i \(\log_{2}(k-2)<\log_{2}2\)
\(k-2>\frac{1}{2}\) i \(k-2<2\)
\(k>\frac{5}{2}\) i \(k<4\)
Rozwiązaniem nierówności są liczby rzeczywiste należące do przedziału \(\left(\frac{5}{2},4\right)\).
Odp.: Suma wszystkich wyrazów danego ciągu o wszystkich wyrazach różnych od zera istnieje dla \(k\in\left(\frac{5}{2},3\right)\cup(3,4)\).
| Nr czynności | 19.1. | 19.2. | 19.3. | 19.4. | 19.5. | 19.6. |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
