Zadanie 18 – matura z matematyki maj 2006, poziom rozszerzony

Krawędź podstawy \(a=2\ \mathrm{m}\), krawędź boczna (wysokość) \(h=\frac{2\sqrt3}{3}\ \mathrm{m}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie optymalizacyjne: wśród nieskończenie wielu brył o ustalonej objętości szukamy tej o najmniejszym polu. Schemat postępowania jest zawsze taki sam: wprowadzamy oznaczenia, zapisujemy wzory na wielkość daną (objętość) i badaną (pole), z warunku o objętości rugujemy jedną zmienną, otrzymujemy funkcję JEDNEJ zmiennej i szukamy jej minimum przy pomocy pochodnej. **Krok \(2\).** Oznaczenia. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Niech \(a\) będzie krawędzią podstawy, a \(h\) krawędzią boczną (wysokością bryły). Pole trójkąta równobocznego to \(\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\), a obwód podstawy to \(3a\), więc \[V=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot h,\qquad P_c=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3ah=\frac{a^2\sqrt3}{2}+3ah.\] **Krok \(3\).** Wykorzystujemy warunek \(V=2\), aby wyznaczyć \(h\): \[\frac{a^2\sqrt3}{4}h=2\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{8}{a^2\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{3a^2}.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(h\) do wzoru na pole i dostajemy funkcję jednej zmiennej: \[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+3a\cdot\frac{8\sqrt3}{3a^2}=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{8\sqrt3}{a},\qquad a\in(0,+\infty).\] Dziedzina to liczby dodatnie, bo \(a\) jest długością krawędzi. **Krok \(5\).** Obliczamy pochodną: \[P^{\prime}(a)=a\sqrt3-\frac{8\sqrt3}{a^2}=\sqrt3\cdot\frac{a^3-8}{a^2}.\] **Krok \(6\).** Szukamy miejsc zerowych pochodnej. Mianownik \(a^2\) i czynnik \(\sqrt3\) są dodatnie, więc o znaku decyduje licznik: \[a^3-8=0\quad\Longrightarrow\quad a^3=8\quad\Longrightarrow\quad a=2.\] **Krok \(7\).** Badamy znak pochodnej, żeby wykazać, że to naprawdę minimum. Dla \(a\in(0,2)\) mamy \(a^3\lt8\), czyli \(P^{\prime}(a)\lt0\) i funkcja maleje. Dla \(a\gt2\) mamy \(a^3\gt8\), czyli \(P^{\prime}(a)\gt0\) i funkcja rośnie. Funkcja najpierw maleje, potem rośnie, więc w punkcie \(a=2\) osiąga minimum, i to minimum globalne w całej dziedzinie. **Krok \(8\).** Obliczamy odpowiadającą wysokość, podstawiając \(a=2\): \[h=\frac{8\sqrt3}{3\cdot2^2}=\frac{8\sqrt3}{12}=\frac{2\sqrt3}{3}.\] Dla porządku: najmniejsze pole wynosi \(P(2)=\dfrac{4\sqrt3}{2}+\dfrac{8\sqrt3}{2}=6\sqrt3\ \mathrm{m}^2\). **Uwaga.** Samo rozwiązanie równania \(P^{\prime}(a)=0\) NIE wystarcza do pełnej odpowiedzi — trzeba jeszcze uzasadnić (badając znak pochodnej albo monotoniczność), że w tym punkcie jest minimum, a nie maksimum czy punkt przegięcia. Trzeba też pamiętać o dziedzinie \(a\gt0\): równanie \(a^3=8\) ma w liczbach rzeczywistych tylko jedno rozwiązanie, ale gdyby pojawiły się inne, ujemne trzeba by odrzucić. **Odpowiedź.** Krawędź podstawy \(a=2\ \mathrm{m}\), krawędź boczna (wysokość) \(h=\frac{2\sqrt3}{3}\ \mathrm{m}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 18.** (\(7\) pkt) Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej \(2\,\mathrm{m}^{3}\) istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa. Wprowadzam następujące oznaczenia: \(a\) – długość krawędzi podstawy, \(h\) – wysokość graniastosłupa. Dla tak wprowadzonych oznaczeń wzory na objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa są następujące: \(V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}h\), \(P=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}+3ah\). Z równania \(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}h=2\) wyznaczam niewiadomą \(h\): \(h=\frac{8\sqrt{3}}{3a^{2}}\). Po podstawieniu \(h\) do wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa otrzymuję funkcję: \(P(a)=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}+3a\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3a^{2}}=\frac{a^{3}\sqrt{3}+16\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a^{2}+\frac{16}{a}\right)\), \(a\in(0,\infty)\). Obliczam pochodną funkcji: \(P'(a)=\sqrt{3}\cdot\frac{a^{3}-8}{a^{2}}\), \(a\in(0,\infty)\). Dla \(a=2\) pochodna funkcji przyjmuje wartość \(0\). \(P'(a)\le 0\) dla \(a\in(0,2\rangle\) i \(P'(a)\ge 0\) dla \(a\in\langle 2,\infty)\), więc w punkcie \(a=2\) funkcja \(P\) osiąga minimum i jednocześnie wartość najmniejszą, bo funkcja \(P\) w przedziale \((0,2\rangle\) jest malejąca i w przedziale \(\langle 2,\infty)\) jest rosnąca. Dla \(a=2\) wysokość \(h=\frac{2\sqrt{3}}{3}\). Odp.: Wymiary graniastosłupa o objętości \(2\,\mathrm{m}^{3}\), dla którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze są następujące: \(a=2\,\mathrm{m}\), \(h=\frac{2\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{m}\). | Nr czynności | 18.1. | 18.2. | 18.3. | 18.4. | 18.5. | 18.6. | 18.7. | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.