Równania i nierówności
Zadanie 20, maj 2006, poziom rozszerzony
Dane są funkcje
\[f(x)=3^{x^2-5x}\qquad\text{i}\qquad g(x)=\left(\frac19\right)^{-2x^2-3x+2}.\]
Oblicz, dla których argumentów \(x\) wartości funkcji \(f\) są większe od wartości funkcji \(g\).
Odpowiedź
\(x\in\left(-4,\frac13\right)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy porównać wartości dwóch funkcji wykładniczych, czyli rozwiązać nierówność \(f(x)\gt g(x)\). Ponieważ obie strony są potęgami, plan jest standardowy: sprowadzamy je do tej samej podstawy, a potem korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej, żeby porównać same wykładniki. Zostanie nierówność kwadratowa.
**Krok \(2\).** Zapisujemy warunek zadania:
\[3^{x^2-5x}\gt\left(\frac19\right)^{-2x^2-3x+2}.\]
**Krok \(3\).** Sprowadzamy prawą stronę do podstawy \(3\). Ponieważ \(\frac19=3^{-2}\), to
\[\left(\frac19\right)^{-2x^2-3x+2}=\left(3^{-2}\right)^{-2x^2-3x+2}=3^{-2\left(-2x^2-3x+2\right)}=3^{4x^2+6x-4}.\]
**Krok \(4\).** Nierówność przyjmuje postać
\[3^{x^2-5x}\gt3^{4x^2+6x-4}.\]
Podstawa \(3\) jest większa od \(1\), więc funkcja wykładnicza jest rosnąca — większej potędze odpowiada większy wykładnik. Nierówność jest zatem równoważna nierówności między wykładnikami (ze znakiem bez zmian):
\[x^2-5x\gt4x^2+6x-4.\]
**Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\[x^2-5x-4x^2-6x+4\gt0,\]
\[-3x^2-11x+4\gt0.\]
Mnożymy przez \(-1\) i zmieniamy zwrot nierówności:
\[3x^2+11x-4\lt0.\]
**Krok \(6\).** Liczymy pierwiastki trójmianu \(3x^2+11x-4\):
\[\Delta=11^2-4\cdot3\cdot(-4)=121+48=169,\qquad\sqrt{\Delta}=13,\]
\[x_1=\frac{-11-13}{6}=\frac{-24}{6}=-4,\qquad x_2=\frac{-11+13}{6}=\frac{2}{6}=\frac13.\]
**Krok \(7\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i wartości ujemne przyjmuje między pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do rozwiązania:
\[x\in\left(-4,\frac13\right).\]
**Uwaga.** Najczęstszy błąd to potknięcie na znakach w kroku \(3\): mnożymy wykładnik \(-2x^2-3x+2\) przez \(-2\), więc każdy wyraz zmienia znak i dostajemy \(4x^2+6x-4\), a nie \(-4x^2-6x+4\). Drugie miejsce ryzyka to mnożenie nierówności przez \(-1\) w kroku \(5\) — wtedy obowiązkowo odwracamy jej zwrot.
**Odpowiedź.** \(x\in\left(-4,\frac13\right)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 20.** (\(4\) pkt)
Dane są funkcje \(f(x)=3^{x^{2}-5x}\) i \(g(x)=\left(\frac{1}{9}\right)^{-2x^{2}-3x+2}\). Oblicz, dla których argumentów \(x\) wartości funkcji \(f\) są większe od wartości funkcji \(g\).
Warunki zadania są równoważne nierówności: \(3^{x^{2}-5x}>3^{4x^{2}+6x-4}\).
Rozwiązuję nierówność: \(3^{x^{2}-5x}>\left(\frac{1}{9}\right)^{-2x^{2}-3x+2}\)
\(3^{x^{2}-5x}>\left(3^{-2}\right)^{-2x^{2}-3x+2}\)
\(3^{x^{2}-5x}>3^{4x^{2}+6x-4}\)
Korzystając z monotoniczności funkcji wykładniczej otrzymuję nierówność równoważną: \(x^{2}-5x>4x^{2}+6x-4\)
\(-3x^{2}-11x+4>0\)
\(\Delta=169\), \(x_{1}=\frac{11-13}{-6}=\frac{1}{3}\), \(x_{2}=\frac{11+13}{-6}=-4\).
Odp.: Rozwiązaniem nierówności jest przedział: \(\left(-4,\frac{1}{3}\right)\).
| Nr czynności | 20.1. | 20.2. | 20.3. | 20.4. |
|---|---:|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
