Ciąg geometryczny
Zadanie 18, maj 2002, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność \(\frac{1}{2^{x}}+\frac{1}{4^{x}}+\frac{1}{8^{x}}+\ldots>2^{x}-0{,}(9)\), gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
Odpowiedź
\(x\in(0,1)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1=2^{-x}\) i ilorazie \(q=2^{-x}\). Szereg ten jest zbieżny tylko wtedy, gdy \(|q|<1\), a ponieważ \(2^{-x}>0\), warunek ten sprowadza się do \(2^{-x}<1\), czyli \(x>0\). To założenie zapisujemy przed użyciem wzoru na sumę.
Podstawmy \(t=2^{x}\); wtedy \(t>1\) i
\[L=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac1t}{1-\frac1t}=\frac1{t-1}.\]
Ponadto \(0{,}(9)=1\), więc prawa strona jest równa \(t-1\). Nierówność przybiera postać
\[\frac1{t-1}>t-1.\]
Ponieważ \(t-1>0\), mnożymy obie strony przez \(t-1\) bez zmiany znaku:
\[1>(t-1)^{2},\qquad 0<t-1<1,\qquad 1<t<2.\]
Wracamy do zmiennej \(x\): \(1<2^{x}<2\), a funkcja wykładnicza o podstawie \(2\) jest rosnąca, więc \(0<x<1\).
**Odpowiedź.** \(x\in(0,1)\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**18.1. (1 pkt)** – [fragment nieczytelny] stroną danej nierówności: \(a_{1}=q=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)
**18.2. (1 pkt)** – podanie warunku zbieżności i wyznaczenie tych wartości \(x\), dla których ciąg, który jest lewą stroną danej nierówności, jest zbieżny: \(x\gt 0\)
**18.3. (1 pkt)** – wyznaczenie sumy \(S\) ciągu, który jest lewą stroną danej nierówności: \(S=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}\)
**18.4. (1 pkt)** – zamiana ułamka okresowego \(0{,}(9)\) na zwykły: \(0{,}(9)=1\)
**18.5. (1 pkt)** – wykonanie podstawienia pomocniczej niewiadomej \(t=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) i zapisanie danej nierówności za pomocą zmiennej \(t\) (1): \((1)\quad\frac{t}{1-t}\gt\frac{1}{t}-1\)
**18.6. (1 pkt)** – przekształcenie nierówności (1) do postaci (2): \((2)\quad -2t\left(t-\frac{1}{2}\right)(t-1)\gt 0\)
**18.7. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności (2): \(t\in(-\infty,\,0)\cup\left(\frac{1}{2},\,1\right)\)
**18.8. (1 pkt)** – zapisanie warunku (3): \((3)\quad\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\lt 0\;\lor\;\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\gt\frac{1}{2}\;\land\;\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\lt 1\right)\)
**18.9. (1 pkt)** – wyznaczenie \(x\) z warunku (3): \(x\in(0,\,1)\)
**18.10. (1 pkt)** – sprawdzenie, czy otrzymane wartości \(x\) należą do dziedziny nierówności, i odpowiedź
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
